É convergente ou divergente? Justifique.

  1. sum_(k = 3)^(+ oo) (k^2 + 5)/(k^2 * (ln k)^3)

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite para descobrirmos se a mesma converge ou diverge. Pra isso, vamos ter que fazer algumas manipulações com nossa expressão a_k e também com c_k .

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Nossa sequencia escolhida para comparação será c_k = (1)/((ln k)^3) que como vimos no exercício 5b) é divergente, e nossa sequência que queremos descobrir é a_k = (k^2 + 5)/(k^2 * (ln k)^3) . Fazendo underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) , vamos ter que

underset(k -> + oo)(lim) ((k^2 + 5)/(k^2 * (ln k)^3))/((1)/((ln k)^3)) = underset(k -> + oo)(lim) (k^2 + 5)/(k^2) = 1 + underset(k -> + oo)(lim) (5)/(k^2) = 1

Como nosso limite deu maior que zero, entramos no primeiro caso do critério do limite, onde ou as duas séries são convergentes ou são divergentes. Como nossa série de comparação é divergente, temos então que a única opção que sobra para nossa série inicial é também ser divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

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