Seja λ > 0 um real dado. A série ∑ k = 0 + ∞ k λ 2 k é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

Nesse problema iremos aplicar o teste do limite e manipular um pouco para chegarmos no resultado para a série. Vamos precisar usar também a regra de L’Hospital, que é dada por derivar o numerador e o denominador quando há uma indeterminação, como infinito dividido por infinito.

Passo 2

Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Temos que a k = k λ 2 k e vamos considerar uma sequência c k = 2 - k 2 , sendo essa série uma série geométrica e por consequência, uma série convergente. Se fizermos agora a k / c k , vamos ter que:

lim k → + ∞ ⁡ k λ 2 k 2 - k 2 = lim k → + ∞ ⁡ k λ 2 k 2

Vemos que há uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Aplicando L’Hospital, vamos ter que

lim k → + ∞ ⁡ λ ⋅ k λ - 1 1 2 ⋅ ln ⁡ 2 ⋅ e ln ⁡ 2 ⋅ k 2

Se analisarmos a expressão, vamos perceber que o termo no numerador cresce muito mais rápido que no numerador. Assim, podemos afirmar que nosso limite tende para zero e como a nossa c k é convergente, nossa série inicial também será convergente

Resposta

Convergente

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