Seja um real dado. A série é convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Nesse problema iremos aplicar o teste do limite e manipular um pouco para chegarmos no resultado para a série. Vamos precisar usar também a regra de L’Hospital, que é dada por derivar o numerador e o denominador quando há uma indeterminação, como infinito dividido por infinito.
Passo 2
Bom, vamos começar. Vamos aplicar para esse exercício o teste do limite. Temos que e vamos considerar uma sequência , sendo essa série uma série geométrica e por consequência, uma série convergente. Se fizermos agora , vamos ter que:
Vemos que há uma indeterminação do tipo . Aplicando L’Hospital, vamos ter que
Se analisarmos a expressão, vamos perceber que o termo no numerador cresce muito mais rápido que no numerador. Assim, podemos afirmar que nosso limite tende para zero e como a nossa é convergente, nossa série inicial também será convergente
Resposta
Convergente