É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(k = 0)^(+ oo) (k^3 + 1) e^(- k)

Passo 1

Critério do Limite. Sejam sum_(k = 0)^(+ oo) a_k e sum_(k = 0)^(+ oo) c_k duas séries, com a_k > 0 e c_k > 0 , para todo k >= q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = L

Então se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Se L = + oo e se c_k diverge, então a_k também diverge.

Se L = 0 se c_k converge então a_k também converge.

E talvez seja ele que vamos usar. Também é o único critério que é dado nesse capítulo.

Mas é importante lembrar também a série geométrica, dada por

sum_(k = 0)^(+ oo) r^k

Na qual, se |r| < 1 , nossa série é dita convergente, caso contrário, nossa série é dita divergente.

Passo 2

Vamos aplicar nosso critério do limite, utilizando como base a série sum b_k com

b_k = (1)/(e^(k // 2))

Na qual,

sum_(k = 0)^(+ oo) ((1)/(e^(1 // 2)))^k

É dita série geométrica, com r = 1 // sqrt(e) < 1 , ou seja, nossa série é convergente.

Assim aplicando o critério do limite, temos

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(b_k) = underset(k -> + oo)(lim) (k^3 + 1) e^(- k) * e^(k // 2) = underset(k -> + oo)(lim) ((k^3 + 1))/(e^(k // 2))

Se aplicarmos o limite, temos oo // oo . Aplicando L ' H o p i t a l 3 vezes, teremos

underset(k -> + oo)(lim) ((k^3 + 1))/(e^(k // 2)) = underset(k -> + oo)(lim) (32)/(e^(k // 2)) = 0

Logo, pelo critério do limite, temos que como nossa série b_k é convergente, então nossa série

sum_(k = 0)^(+ oo) (k^3 + 1) e^(- k)

também é convergente

Resposta

convergente

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