Mostre que as séries dadas são convergentes. Justifique

∑ n = 1 + ∞ ln ⁡ n 2 + 5 n 2 + 3

Sugestão: Utilize a desigualdade ln ⁡ x < x - 1

Passo 1

Critério da comparação. Sejam as séries ∑ k = 0 + ∞ a k e ∑ k = 0 + ∞ b k . Suponha que exista um um natural p tal que, para todo k ≥ p , 0 ≤ a k ≤ b k . Nesta condições, tem-se:

i ∑ k = 0 + ∞ b k   c o n v e r g e n t e   ⟹ ∑ k = 0 + ∞ a k   c o n v e r g e n t e

( i i )   ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e   ⟹ ∑ k = 0 + ∞ a k   d i v e r g e n t e

Passo 2

Usando a desigualdade sugerida na sugestão, tome que

∑ n = 1 + ∞ ln ⁡ n 2 + 5 n 2 + 3 < ∑ n = 1 + ∞ n 2 + 5 n 2 + 3 - 1

Exatamente a série que foi resolvida no problema anterior. Observe que

∑ n = 1 + ∞ n 2 + 5 n 2 + 3 - 1 = ∑ n = 1 + ∞ 2 n 2 + 3 < ∑ n = 1 + ∞ 2 n 2

Com

∑ n = 1 + ∞ 2 n 2

Uma p-série com p = 2 , logo como toda p-série com p > 1 é convergente e p ≤ 1 é divergente, temos que

∑ n = 1 + ∞ 2 n 2   c o n v e r g e n t e > ∑ n = 1 + ∞ n 2 + 5 n 2 + 3 - 1   c o n v e r g e n t e > ∑ n = 1 + ∞ ln ⁡ n 2 + 5 n 2 + 3   c o n v e r g e n t e

Pelo critério da comparação.

Resposta

convergente

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