É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(k = 2)^(+ oo) (k)/(2 k^3 + 3 k + 1)

Passo 1

Critério do Limite. Sejam sum_(k = 0)^(+ oo) a_k e sum_(k = 0)^(+ oo) c_k duas séries, com a_k > 0 e c_k > 0 , para todo k >= q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = L

Então se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Se L = + oo e se c_k diverge, então a_k também diverge.

Se L = 0 se c_k converge então a_k também converge.

E talvez seja ele que vamos usar. Também é o único critério que é dado nesse capítulo.

Passo 2

Vamos tomar nosso a_k

a_k = (k)/(2 k^3 + 3 k + 1)

e nossa série que iremos utilizar para comparar sum b_k , com b_k dado por

b_k = (1)/(k^2)

Na qual a série

sum_(k = 2)^(+ oo) (1)/(k^2)

Uma p-série com p = 2 , que conhecendo a p-série, sabemos que ela converge.

Então aplicando o critério, temos

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(b_k) = underset(k -> + oo)(lim) ((k)/(2 k^3 + 3 k + 1))/((1)/(k^2))

= underset(k -> + oo)(lim) (k)/(2 k^3 + 3 k + 1) * k^2 = underset(k -> + oo)(lim) (k^3)/(2 k^3 + 3 k + 1)

Colocando k^3 em evidência, temos

underset(k -> + oo)(lim) (k^3)/(2 k^3 + 3 k + 1) = underset(k -> + oo)(lim) (1)/(2 + 3 // k^2 + 1 // k^3) = (1)/(2) > 0

Assim temos que pelo critério do limite, nossa série original

sum_(k = 2)^(+ oo) (k)/(2 k^3 + 3 k + 1)

também converge.

Resposta

convergente

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