É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(k = 0)^(+ oo) (2 + cos sqrt(k^3) + 3)/(k + 1)

Passo 1

Critério do Limite. Sejam sum_(k = 0)^(+ oo) a_k e sum_(k = 0)^(+ oo) c_k duas séries, com a_k > 0 e c_k > 0 , para todo k >= q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = L

Então se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Se L = + oo e se c_k diverge, então a_k também diverge.

Se L = 0 se c_k converge então a_k também converge.

E talvez seja ele que vamos usar. Também é o único critério que é dado nesse capítulo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever nossa série. Assim tome que

sum_(k = 0)^(+ oo) (2 + cos ( sqrt(k^3) + 3 ))/(k + 1) = sum_(k = 0)^(+ oo) (2)/(k + 1) + sum_(k = 0)^(+ oo) (cos (sqrt(k^3) + 3))/(k + 1)

Na qual, para que a série principal converja, temos que as duas novas séries tem que convergir também. Caso uma delas divirjar, então a série principal já será divergente.

Vamos primeiro olhar a primeira série, e torcer pra ela divergir. Assim primeiro vamos supor que ela seja divergente. Essa suposição servirá para escolhermos nossa outra série para comparar.

Vamos escolher

sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/(k)

Que sabemos ser a série harmônica e saber que ela é divergente. Logo vamos utilizá-la para tentar mostrar que nossa série principal é divergente também.

Passo 3

Assim como descrevemos no passo 1, vamos tomar o critéria do Limite, ou seja

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = underset(k -> + oo)(lim) ((2)/(k + 1))/((1)/(k)) = underset(k -> + oo)(lim) (2)/(k + 1) * k

= underset(k -> + oo)(lim) (2 k)/(k + 1)

Agora vamos colocar no denominador, k em evidência

= underset(k -> + oo)(lim) (2 k)/(k (1 + (1)/(k))) = underset(k -> + oo)(lim) (2)/(1 + 1 // k) = 2 > 0

Logo temos que, se L > 0 real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes. Então como a série que escolhemos era divergente, temos que

sum_(k = 0)^(+ oo) (2)/(k + 1)

Também é, e consequentemente

sum_(k = 0)^(+ oo) (2 + cos sqrt(k^3) + 3)/(k + 1)

Também será divergente

Resposta

divergente

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