É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Critério do Limite. Sejam e duas séries, com e , para todo , onde é um natural fixo. Suponhamos que
Então se real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes.
Se e se diverge, então também diverge.
Se se converge então também converge.
E talvez seja ele que vamos usar. Também é o único critério que é dado nesse capítulo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever nossa série. Assim tome que
Na qual, para que a série principal converja, temos que as duas novas séries tem que convergir também. Caso uma delas divirjar, então a série principal já será divergente.
Vamos primeiro olhar a primeira série, e torcer pra ela divergir. Assim primeiro vamos supor que ela seja divergente. Essa suposição servirá para escolhermos nossa outra série para comparar.
Vamos escolher
Que sabemos ser a série harmônica e saber que ela é divergente. Logo vamos utilizá-la para tentar mostrar que nossa série principal é divergente também.
Passo 3
Assim como descrevemos no passo 1, vamos tomar o critéria do Limite, ou seja
Agora vamos colocar no denominador, em evidência
Logo temos que, se real, ou ambas são convergentes ou ambas são divergentes. Então como a série que escolhemos era divergente, temos que
Também é, e consequentemente
Também será divergente
Resposta
divergente