Utilizando o critério de Cauchy-Fermat, com , estude as séries a seguir com relação a convergência e divergência, onde é um real dado.
Passo 1
Do critério de Cauchy-Fermat tiramos que, suponha contínua, descrecente e positiva, com , então
Assim se a série converge, então nossa integral também é convergente e vice versa.
Observe também que iremos fazer uso dos resultados que obtivemos nos problemas e dessa seção.
Passo 2
Tome que nossa é dada por
Então vamos tomar como sugerido em nosso problema , então
Lembre que , então
Legal ... mas essa série é convergente ou divergente?
Vamos aplicar o primeiro e mais simples teste, o teste do limite, assim temos que, se o limite for diferente de zero, nossa série é dita divergente, se der igual a zero, teremso que aplicar outro limite, visto que no teste do limite, é uma inconclusão.
Sendo assim
Temo que se aplicarmos o limite, teremos , ou seja, inconclusivo, então aplicando L’Hopital, temos que a derivada de é e a derivada de é .
Perceba que cairemos em um limite muito parecido que também dará inconclusivo. Entretanto, perceba também que, se foi um inteiro, então em algum momento nosso no denominador irá sumir e nosso limite dará , ou seja, não existe. Se for um real, então em algum momento, o termo no denominador irá subir para o denominador e nosso limite também dará . Logo a série já é dita divergente independe do valor de .
Resposta
divergente