Utilizando o critério de Cauchy-Fermat, com E = e , estude as séries a seguir com relação a convergência e divergência, onde α > 0 é um real dado.

∑ k = 2 + ∞ 1 ln ⁡ k α

Passo 1

Do critério de Cauchy-Fermat tiramos que, suponha f : [ 1 , + ∞ [ → R contínua, descrecente e positiva, com E > 1 , então

∑ k = 0 + ∞ E k f E k ⟺ ∑ k = 0 + ∞ f k

Assim se a série converge, então nossa integral também é convergente e vice versa.

Observe também que iremos fazer uso dos resultados que obtivemos nos problemas 5 e 6 dessa seção.

Passo 2

Tome que nossa f k é dada por

f k = 1 ln ⁡ k α

Então vamos tomar como sugerido em nosso problema E = e , então

∑ k = 2 + ∞ f k = ∑ k = 2 + ∞ e k f e k = ∑ k = 2 + ∞ e k ln ⁡ e k α

Lembre que ln ⁡ e k α = k α , então

∑ k = 2 + ∞ e k ln ⁡ e k α = ∑ k = 2 + ∞ e k k α

Legal ... mas essa série é convergente ou divergente?

Vamos aplicar o primeiro e mais simples teste, o teste do limite, assim temos que, se o limite for diferente de zero, nossa série é dita divergente, se der igual a zero, teremso que aplicar outro limite, visto que no teste do limite, z e r o é uma inconclusão.

Sendo assim

lim k → + ∞ ⁡ e k k α

Temo que se aplicarmos o limite, teremos ∞ / ∞ , ou seja, inconclusivo, então aplicando L’Hopital, temos que a derivada de e k é e k e a derivada de k α é α k α - 1 .

Perceba que cairemos em um limite muito parecido que também dará inconclusivo. Entretanto, perceba também que, se α foi um inteiro, então em algum momento nosso k no denominador irá sumir e nosso limite dará , ou seja, não existe. Se α for um real, então em algum momento, o termo k no denominador irá subir para o denominador e nosso limite também dará . Logo a série já é dita divergente independe do valor de α .

Resposta

divergente

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