È convergente ou divergente? Justifique.

  1. sum_(k = o)^(+ oo) ( cos^2 k + k^2 ) k^(- 4)

Passo 1

Bom, para utilizar o critério do limite e considerando:

a_k = (cos^2 k + k^2)/(k^4)

Precisamos de um c_k tal que:

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = L

Passo 2

De forma que, se

(i) L > 0 , L R e a l , ou ambas são convergentes, ou ambas divergentes.

(ii) L = + oo e se sum_(k = 0)^(oo) c_k for divergente, sum_(k = 0)^(oo) a_k também será divergente.

(iii) L = 0 e se sum_(k = 0)^(oo) c_k for convergente, sum_(k = 0)^(oo) a_k também será convergente.

Passo 3

Portanto, vamos adotar c_k = (1)/(k^2) pois sabemos que:

sum_(k = 0)^(oo) (1)/(k^2)

È uma série harmônica convergente.

Então:

underset(k -> + oo)(lim) (a_k)/(c_k) = underset(k -> + oo)(lim) (((cos^2 k + k^2)/(k^4)))/((1)/(k^2)) =

Colocando k^2 em evidencia:

underset(k -> + oo)(lim) (((cos^2 k + k^2)/(k^4)))/((1)/(k^2)) = underset(k -> + oo)(l i m) (((k^2 ((cos^2 k)/(k^2) + 1))/(k^4)))/((1)/(k^2))

Dando uma arruma nisso:

underset(k -> + oo)(l i m) (k^2 k^2 ((cos^2 k)/(k^2) + 1))/(k^4) = underset(k -> + oo)(l i m) (cos^2 k)/(k^2) + 1 = 1

Portanto, como c_k é convergente ntão de acordo com o item (i) a_k também tem de ser convergente.

Resposta

Portanto,

sum_(k = o)^(+ oo) ( cos^2 k + k^2 ) k^(- 4) -> C o n v e r g e n t e .

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