Suponha |x| < 1 . Calcule o valor da soma:

  1. sum_(n = 0)^(+ oo) (n + 2) (n + 1) x^n

Passo 1

O exercício da uma boa dica para começarmos, ele diz:

(sum_(n = 0)^(+ oo) x^(n + 2))^(' ') = sum_(n = 0)^(+ oo) (n + 2) (n + 1) x^n

E de fato, isso é verdade.

Portanto podemo partir de

sum_(n = 0)^(+ oo) x^(n + 2)

Passo 2

Existe uma relação que é muito importante para conseguirmos resolver este exercício, ela diz o seguinte:

Seja uma série de potencia do tipo:

sum_(n = 0)^(oo) x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n

Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

f (x) = S = (a_1)/(1 - r)

Onde

a_1 é o primeiro termo da série

E

r é a razão (uma forma bem simples é ver que r = (a_n + 1)/(a_n) )

Portanto a série,

sum_(n = 0)^(oo) x^n = underset(a_1)(ubrace 1) + x + x^2 + x^3 + ... + x^n = (1)/(1 - x) = f ( x )

Passo 3

Tendo isso em mente, retornemos à série em questão, teremos:

sum_(n = 0)^(+ oo) x^(n + 2) = x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + ... + x^n

Sendo:

{[[a_1,=,x^2],[r,=,(x^3)/(x^2),=,x]])

Portanto,

sum_(n = 0)^(+ oo) x^(n + 2) = (x^2)/(1 - x)

Lembrando que,

(sum_(n = 0)^(+ oo) x^(n + 2))^(' ') = sum_(n = 0)^(+ oo) (n + 2) (n + 1) x^n

((x^2)/(1 - x))^(' ') = sum_(n = 0)^(+ oo) (n + 2) (n + 1) x^n

Derivando então:

((x^2)/(1 - x))^(' ') = (2)/((1 - x)^3)

Portanto:

sum_(n = 0)^(+ oo) (n + 2) (n + 1) x^n = (2)/((1 - x)^3)

Resposta

Portanto, supondo |x| < 1 encontramos a seguinte solução para a série:

sum_(n = 0)^(+ oo) (n + 2) (n + 1) x^n = (2)/((1 - x)^3)

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