Suponha que a função f : [ 0 , + ∞ [   → R   seja contínua, decrescente e positiva. Prove:

  1. ∑ k = 0 + ∞ f ( k )   convergente ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x convergente.

Passo 1

Bom, primeiramente preste atenção no seguinte gráfico:

Repare que,

∑ k = 0 n f k = Soma das áreas dos retângulos no intervalo [ 0 ; n ]

E

∫ 0 ∞ f x d x = área abaixo da curva no intervalo [ 0 ; + ∞ )

Passo 2

Agora, lembre-se da definição de integral de Riemann que diz:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 0 n f i ∆ x

Perceba então que podemos representar da seguinte forma:

Passo 3

∫ 0 + ∞ f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n f k

Se tomarmos:

∑ k = 0 + ∞ f k   c o n v e r g e n t e  

Significa dizer:

∑ k = 0 + ∞ f k = L

E então:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n f k = lim n → + ∞ ⁡ L = L

Portanto,

∫ 0 + ∞ f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ k = 0 n f k = L

Implicando no que queríamos demonstrar:

∫ 0 + ∞ f x d x → c o n v e r g e n t e .

Resposta

Então, pela Integral de Riemann, mostramos que:

  1. ∑ k = 0 + ∞ f ( k )   convergente ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x convergente.
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