Um corpo de massa 10 kg é abandonado a uma certa altura. Sabe-se que as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional à velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após ter sido abandonado a sua velocidade é de 8m/s, determine a velocidade no instante t. Suponha que a aceleração gravitacional seja de 10 m / s 2 . (Lembre-se de que o peso do corpo é o produto de sua massa pela aceleração gravitacional.)

Passo 1

Meus queridos e minhas queridas:

Sendo x=x(t) a distância, no instante t, do corpo ao ponto de onde foi abandonado. Então, a queda do corpo é regida pela equação

m d 2 x d t 2 = m g - ∝ v

Lembrando que: d 2 x d t 2 = d v d t

10 d v d t = 10 g - ∝ v

Sendo g=10 m / s 2 :

10 d v 100 - ∝   v = d t

Integrando ambos os lados:

10 ∫ d v 100 - ∝ v = ∫ d t

- 10 ∝   ln ⁡ 100 - ∝ v = t + C

ln ⁡ 100 - k v = - ∝ ( t + C ) 10

Elevando ambos os lados da equação a ‘e’, que é a base do logaritmo:

100 - ∝ v = e - ∝ ( t + C ) 10

v ( t ) = - e - ∝ ( t + C ) 10 + 100 ∝

Lembrando:

v(0)=0 e v(1)=8

v 0 = 0 ⇒ 0 = - e - ∝ C 10 + 100 ∝

100 = e - ∝ C 10 ; E q . 1

v ( t ) = - e - ∝ t 10 + - ∝ C 10 + 100 ∝

v ( t ) = - e - ∝ t 10 . e - ∝ C 10 + 100 ∝

Aplicando a Eq.1:

v ( t ) = - 100 e - ∝ t 10 + 100 ∝

v ( t ) = 100 ∝ 1 - e - ∝ t 10

Passo 2

Apesar de termos achado a equação da velocidade em função do tempo, precisamos achar a raiz da equação, :

100 = e - ∝ C 10

ln ⁡ 100 = - ∝ C 10 ; E q . 2

v 1 = 8 ⇒ 8 = - e - ∝ - ∝ C 10 + 100 ∝

8 ∝ = - e - ∝ - ∝ C 10 + 100

100 - 8 ∝ = e - ∝ - ∝ C 10 ∝

ln ⁡ 100 - 8 ∝ = - ∝ - ∝ C 10

ln ⁡ 100 - 8 k = - ∝ 10 + - ∝ C 10 ( a p l i c a n d o   a   E q . 2 )

ln ⁡ 100 - 8 k = - ∝ 10 + ln ⁡ 100

ln ⁡ 100 - 8 ∝ - ln ⁡ 100 = - ∝ 10

ln ⁡ 100 - 8 ∝ 100 = - ∝ 10

- ln ⁡ 100 - 8 ∝ 100 = ∝ 10

Lembrem-se:

- ln ⁡ a = ln ⁡ a - 1 = ln ⁡ 1 a

ln ⁡ 100 100 - 8 ∝ = ∝ 10

Elevando ambos os lados da equação a ‘e’, que é a base do logaritmo:

e ∝ 10 = 100 100 - 8 ∝

100 e ∝ 10 - 8 ∝ e ∝ 10 = 100

100 e ∝ 10 - 1 = 8 ∝ e ∝ 10

∝ = 25 2 1 - e - ∝ 10

Resposta

v t = 100 ∝ 1 - e - ∝ t 10 ;   ∝ = 25 2 1 - e - ∝ 10

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