Um corpo de massa 2,5 kg cai do repouso e as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência igual ao quadrado da velocidade. Qual a velocidade no instante t? Suponha que a aceleração gravitacional seja de 10 m / s 2 .

Passo 1

Meus fofos, vamos direto ao ponto:

Sendo x=x(t), onde x é a distância no instante t do corpo ao ponto de repouso, pela 2ª lei de Newton, temos:

m d 2 x d t 2 = m g - F r

Onde: mg é a força peso e F r é a força de resistência.

2,5 d 2 x d t 2 = 2,5 g - d x d t 2

Sendo g=10 m / s 2

Lembrando: d 2 x d t 2 = d v d t   e   d x d t = v

2,5 d v d t = 2 5 - v 2

Agora, vamos separar as equações:

2,5 d v 25 - v 2 = d t

2,5 ∫ d v 25 - v 2 = ∫ d t  

Vamos adotar ∫ d v 25 - v 2 = U e resolve-la separadamente!

U = ∫ d v 25 - v 2

Vamos fazer por frações parciais:

25 - v 2 = ( 5 + v ) ( 5 - v )

1 25 - v 2 = A 5 + v + B 5 - v

1 25 - v 2 = A 5 - v + B ( 5 + v ) ( 5 + v ) ( 5 - v )

A 5 - v + B 5 + v = 1

Para v = 5 :

B = 1 10

Para v = 10 :

- 5 A + 15 B = 1

- 5 A + 15 . 1 10 = 1

A = 1 10

Logo:

∫ d v 25 - v 2 = ∫ A 5 + v d v + ∫ B 5 - v d v

∫ d v 25 - v 2 = 1 10 ∫ 1 v + 5 d v + 1 10 ∫ 1 5 - v d v

U = ∫ d v 25 - v 2 = 1 10 ln ⁡ ( v + 5 ) - 1 10 ln ⁡ 5 - v = 1 10 ( ln ⁡ v + 5 - ln ⁡ 5 - v )

Vamos voltar a equação original:

2,5 ∫ d v 25 - v 2 = ∫ d t  

2,5 { 1 10 ( ln ⁡ v + 5 - ln ⁡ 5 - v ) } = t + k  

1 4 ln ⁡ v + 5 5 - v = t + k

ln ⁡ v + 5 5 - v = 4 t + 4 k

Elevando ambos os lados da equação a ‘e’, que é a base do ln:

v + 5 5 - v = e 4 t + 4 k

v + 5 = 5 - v e 4 t + 4 k

v + 5 = - v e 4 t + 4 k + 5 e 4 t + 4 k

v + v e 4 t + 4 k = 5 - 1 + e 4 t + 4 k

v 1 + e 4 t + 4 k = 5 ( - 1 + e 4 t + 4 k )

v ( t ) = 5 ( e 4 t + 4 k - 1 ) e 4 t + 4 k + 1

Lembrando que v 0 = 0 :

v 0 = 0

0 = 5 ( e 4 k - 1 ) e 4 k + 1

0 = 5 ( e 4 k - 1 )

0 = e 4 k - 1

e 4 k = 1

e 4 k = e 0

4 k = 0 → k = 0

Voltando:

v ( t ) = 5 ( e 4 t - 1 ) e 4 t + 1

Resposta

v ( t ) = 5 ( e 4 t - 1 ) e 4 t + 1

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