Determine uma curva que passa pelo ponto 0,2 e que goza da seguinte propriedade: a reta tangente no ponto ( x , y ) encontra o eixo x no ponto A , de abscissa positiva, de tal modo que a distância de ( x , y ) a A seja sempre 2.

Passo 1

Meus lindos e minhas lindas:

Queremos encontrar uma função y = f ( x ) , adotando a troca de ( x , y ) para ( p , q ) , logo q = f p .

Portanto, a equação da reta tangente em ( p , q ) é:

y - q = f ' ( p ) ( x - p )

Para y = 0 :

- q = f ' ( p ) ( x - p )

Vamos isolar x :

- q = f ' p x - f ' p p

f ' p p - q = x f ' ( p )

x = f ' p p - q f ' ( p )

x = p - q f ' ( p )

Sendo x a abscissa do ponto A .

Após essa etapa, precisamos lembrar de uma propriedade de álgebra:

Dados dois pontos G ( g 1 , g 2 ) e H ( h 1 , h 2 ) , a equação que rege a distância entre os dois pontos é dada por:

d G H = g 1 - h 1 2 + g 2 - h 2 2

Então, mãos a obra:

d = p - x 2 + q - y 2

d = p - p + q f ' ( p ) 2 + q - 0 2

d = q f ' ( p ) 2 + q 2

Porém, o enunciado nos garante que a distância será sempre 2, com isso:

2 = q f ' ( p ) 2 + q 2

4 = q 2 f ' p 2   + q 2

Vamos isolar f ' p 2 :

4 f ' p 2 = q 2 + q 2 f ' p 2

f ' p 2 4 - q 2 = q 2

f ' p 2 = q 2 4 - q 2

Agora, vamos transformar a equação que temos para a que queremos:

d y d x 2 = y 2 4 - y 2

Como o gráfico da função passa pelo ponto ( 0,2 ) e a reta tangente encontra o eixo x em um ponto de abscissa positiva, podemos supor d y d x < 0   e   y > 0 .

d y d x = - y 2 4 - y 2

d y d x = - y 1 4 - y 2

Passo 2

Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:

4 - y 2 y d y = - d x

∫ 4 - y 2 y d y = - ∫ d x

∫ 4 - y 2 y d y = - x + k

Iremos resolver separadamente a integral:

T = ∫ 4 - y 2 y d y

∫ 4 - y 2 y d y = ∫ y 4 - y 2 y 2 d y

Vamos adotar:

4 - y 2 = u 2 ⇒ u . d u = - y . d y

Então:

∫ y . u 4 - u 2 ∙ u . d u - y = ∫ - u 2 4 - u 2 d u

OBS: Faremos uso de outra propriedade de álgebra:

a + - a = 0

Logo, a efetuação dessa soma não interfere no nosso resultado!

Faremos uso dessa ferramente para igualarmos o nosso numerador ao nosso denominador.

∫ - u 2 4 - u 2 d u = ∫ - u 2 + 4 - 4 4 - u 2 d u

∫ - 4 - u 2 + 4 4 - u 2 d u = ∫ - 1 + 4 4 - u 2 d u = - u + ∫ 4 4 - u 2 d u

Sendo:

∫ 4 4 - u 2 d u

Uma integral tabelada conhecida (pelo método de frações parciais):

∫ 4 4 - u 2 d u = ln ⁡ ( 2 + u ) 2 - u = ln ⁡ ( 2 + u ) ( 2 + u ) ( 2 - u ) ( 2 + u ) = ln ⁡ 2 + u 2 4 - u 2

Lembrando que:

4 - u 2 = y 2 u = 4 - y 2

Então:

ln ⁡ 2 + u 2 4 - u 2 = ln ⁡ 2 + u 2 y 2 = ln ⁡ 2 + u y 2 = 2 ln ⁡ 2 + u y = 2 ln ⁡ 2 + 4 - y 2 y

∫ 4 - y 2 y d y = - 4 - y 2 + 2 ln ⁡ 2 + 4 - y 2 y

Visto que:

- 4 - y 2 + 2 ln ⁡ 2 + 4 - y 2 y = - x + k

Tratando-se de um problema onde queremos que a curva passe pelo ponto ( 0,2 ) :

x = 0   e   y = 2

- 4 - 2 2 + 2 ln ⁡ 2 + 4 - 2 2 2 = - 0 + k

k = 0

Portanto, a curva que resolve o problema (e nossas vidas, também):

x = 4 - y 2 - 2 ln ⁡ 2 + 4 - y 2 y ,   0 < y ≤ 2

Resposta

x = 4 - y 2 - 2 ln ⁡ 2 + 4 - y 2 y ,   0 < y ≤ 2

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