Determine uma curva que passa pelo ponto e que goza da seguinte propriedade: a reta tangente no ponto encontra o eixo no ponto , de abscissa positiva, de tal modo que a distância de a seja sempre 2.
Passo 1
Meus lindos e minhas lindas:
Queremos encontrar uma função , adotando a troca de para , logo
Portanto, a equação da reta tangente em é:
Para :
Vamos isolar :
Sendo a abscissa do ponto .
Após essa etapa, precisamos lembrar de uma propriedade de álgebra:
Dados dois pontos e , a equação que rege a distância entre os dois pontos é dada por:
Então, mãos a obra:
Porém, o enunciado nos garante que a distância será sempre 2, com isso:
Vamos isolar :
Agora, vamos transformar a equação que temos para a que queremos:
Como o gráfico da função passa pelo ponto e a reta tangente encontra o eixo em um ponto de abscissa positiva, podemos supor
Passo 2
Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
Iremos resolver separadamente a integral:
Vamos adotar:
Então:
OBS: Faremos uso de outra propriedade de álgebra:
Logo, a efetuação dessa soma não interfere no nosso resultado!
Faremos uso dessa ferramente para igualarmos o nosso numerador ao nosso denominador.
Sendo:
Uma integral tabelada conhecida (pelo método de frações parciais):
Lembrando que:
Então:
Visto que:
Tratando-se de um problema onde queremos que a curva passe pelo ponto :
Portanto, a curva que resolve o problema (e nossas vidas, também):