Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 44b
Dada a função , analisar os pontos críticos, considerando que:
b) e .
Passo 1
Então galera, essa questão não é tão difícil de enxergar porque é uma função quadrática, e conhecemos muito bem esse tipo de função, não é mesmo? Mas ainda sim vamos utilizar os conceitos que conhecemos! Derivando parcialmente e igualando a zero, teremos:
Sendo assim:
Como e , então temos que o ponto crítico é em .
Passo 2
Para classificarmos se o ponto crítico que encontramos é ponto de máximo, mínimo ou se é ponto de sela, devemos encontrar o determinante Hessiano, dado da seguinte forma:
Então temos que encontrar essas derivadas parciais aí! Sendo assim:
Substituindo, teremos:
Sendo assim, pelas proposições estudadas, se o determinante resulta em um valor maior do que zero e a derivada parcial de segunda ordem resulta em um valor negativo, então significa que o ponto crítico é ponto de máximo. Em outras palavras, temos um paraboloide virado para baixo com máximo em .
Resposta
Parabolóide virado para baixo, ponto de máximo: .