(Decaimento radioativo) Um material radioativo se desintegra a uma taxa d m d t proporcional a m , onde m = m ( t ) é a quantidade de matéria no instante t . Supondo que a quantidade inicial (em t = 0 ) de matéria seja m 0 e que 10 anos após já tenha se desintegrado 1 3 da quantidade inicial, pede-se o tempo necessário para que a metade da quantidade inicial se desintegre.

Passo 1

Meus grandes gênios, vamos resolver esse problema de alta complexidade (brincadeira)?

Sabemos que a equação diferencial que rege o problema é dada por

d m d t ∝ m ; ∝ é   r e f e r e n t e   a   p r o p o r c i o n a l i d a d e

Em outras palavras, isso nos garante que:

d m d t = β C

Vamos separar as variáveis e depois integrar ambos os lados da equação:

d m m = β . d t

∫ d m m = ∫ β   d t

ln ⁡ m = β t + k

Elevando ambos os lados da equação a e , que é a base do logaritmo:

m = e β t + k

m t = e k e β t

Passo 2

Essa questão trata-se de um PVI (problema de valor inicial), logo, precisamos aplicar os valores que a questão nos fornece para transformar a equação encontrada em outra mais “palpável”.

A questão nos garante:

m 0 = m 0 m 10 = m 0 - m 0 3 = 2 m 0 3

Vamos:

m 0 = m 0 ⇒ e k = m 0

Então, temos:

m t = m 0 e β t

E, por consequência:

m 10 = 2 m 0 3 ⇒ m 0 e 10 β = 2 m 0 3

e 10 β = 2 3

Aplicando l n em ambos os lados da equação, temos:

10 β = ln ⁡ 2 3

10 β = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3

β = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 10

Por fim, temos:

m t = m 0 ∙ e ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 10 t

Passo 3

A questão quer saber o tempo t para que a metade da quantidade inicial se desintegre.

Em outras palavras

m t = m 0 2 ; t = ?

Vamos lá, meus lindos:

m t = m 0 ∙ e ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 10 t

m 0 2 = m 0 ∙ e ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 10 t

1 2 = e ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 10 t

Aplicando l n em ambos os lados da equação, teremos:

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 10 t

- 10 ∙ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 = t

t = 10 ∙ ln ⁡ 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

Aplicando os valores de ln ⁡ 2   e ln ⁡ 3 , teremos, aproximadamente:

t = 17   a n o s .

Resposta

t = 17   a n o s .

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