(Decaimento radioativo) Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional a , onde é a quantidade de matéria no instante . Supondo que a quantidade inicial (em ) de matéria seja e que 10 anos após já tenha se desintegrado da quantidade inicial, pede-se o tempo necessário para que a metade da quantidade inicial se desintegre.
Passo 1
Meus grandes gênios, vamos resolver esse problema de alta complexidade (brincadeira)?
Sabemos que a equação diferencial que rege o problema é dada por
Em outras palavras, isso nos garante que:
Vamos separar as variáveis e depois integrar ambos os lados da equação:
Elevando ambos os lados da equação a , que é a base do logaritmo:
Passo 2
Essa questão trata-se de um PVI (problema de valor inicial), logo, precisamos aplicar os valores que a questão nos fornece para transformar a equação encontrada em outra mais “palpável”.
A questão nos garante:
Vamos:
Então, temos:
E, por consequência:
Aplicando em ambos os lados da equação, temos:
Por fim, temos:
Passo 3
A questão quer saber o tempo para que a metade da quantidade inicial se desintegre.
Em outras palavras
Vamos lá, meus lindos:
Aplicando em ambos os lados da equação, teremos:
Aplicando os valores de , teremos, aproximadamente: