Determine varphi .

varphi (x) = int_0^x (t + 2 varphi (t)) d t

Passo 1

Queremos resolver a equação

varphi (x) = int_0^x (t + 2 varphi (t)) d t

Derivando ela com relação a x e usando o teorema fundamental do cálculo:

varphi^' (x) = (d)/(d x) (int_0^x (t + 2 varphi (t)) d t) = x + 2 varphi (x)

Portanto, queremos quesolver a equação linear:

(d varphi)/(d x) = x + 2 varphi

Ou ainda,

varphi^' - 2 varphi = x

Passo 2

O fator integrante é

I = e^(int - 2 d x) = e^(- 2 x)

Multiplicando a equação por esse fator:

varphi^' e^(- 2 x) - 2 varphi e^(- 2 x) = x e^(- 2 x)

O lado direito pode ser fatorado em

(varphi e^(- 2 x))^' = x e^(- 2 x)

Integrando dos dois lados:

varphi e^(- 2 x) = int x e^(- 2 x) d x

Usando integração por partes, essa integral fica:

int x e^(- 2 x) d x = - (x)/(2) e^(- 2 x) + (1)/(2) int e^(- 2 x) d x = - (x)/(2) e^(- 2 x) - (1)/(4) e^(- 2 x) + C

Logo,

varphi e^(- 2 x) = - (1)/(2) (x + (1)/(2)) e^(- 2 x) + C

Portanto,

varphi (x) = - (1)/(2) (x + (1)/(2)) + C e^(2 x)

Passo 3

Mas qual é a condição inicial? Note que como

varphi (x) = int_0^x (t + 2 varphi (t)) d t

Temos que

varphi (0) = int_0^0 (t + 2 varphi (t)) d t = 0

Isso ocorre pois a integral é de 0 até 0 nos limites de integração! Portanto, fazendo x = 0 na solução:

0 = - (1)/(2) * (0 + (1)/(2)) + C => C = (1)/(4)

Com isso, a solução da equação pedida é

varphi (x) = (1)/(4) e^(2 x) - (x)/(2) - (1)/(4)

Resposta

varphi (x) = (1)/(4) e^(2 x) - (x)/(2) - (1)/(4)

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