Determine varphi .

varphi (x) = 1 + int_0^x t varphi (t) d t

Passo 1

Queremos resolver a equação

varphi (x) = 1 + int_0^x t varphi (t) d t

Derivando ela com relação a x e usando o teorema fundamental do cálculo:

varphi^' (x) = 0 + (d)/(d x) (int_0^x t varphi (t) d t) = x varphi (x)

Portanto, queremos quesolver a equação separável:

(d varphi)/(d x) = x varphi

Passo 2

Com isso, temos que

(d varphi)/(varphi) = x d x

Integrando:

ln |varphi| = (x^2)/(2) + C

Logo,

|varphi| = e^((x^2)/(2) + C) = e^C e^((x^2)/(2))

Ou ainda,

varphi = +- e^C e^((x^2)/(2))

Chamando A = +- e^C :

varphi (x) = A e^((x^2)/(2))

Passo 3

Mas qual é a condição inicial? Note que como

varphi (x) = 1 + int_0^x t varphi (t) d t

Temos que

varphi (0) = 1 + int_0^0 t varphi (t) d t = 1

Isso ocorre pois a integral é de 0 até 0 nos limites de integração! Portanto, fazendo x = 0 na solução:

1 = A e^0 => A = 1

Com isso, a solução da equação pedida é

varphi (x) = e^((x^2)/(2))

Resposta

varphi (x) = e^((x^2)/(2))

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