Seja , uma solução da equação
satisfazendo a condição inicial . Determine o polinômio de Taylor de ordem de , em volta de .
Passo 1
Queremos achar o polinômio de Taylor de ordem de em torno de :
Como , a expressão fica:
Temos que calcular as derivadas em .
Passo 2
Como é solução da equação diferencial:
Como , segue que
Derivando a equação diferencial:
Fazendo :
Derivando mais uma vez:
Fazendo :
Derivando novamente:
Fazendo :
Por fim, tomando a derivada pela última vez:
Ufa, ainda bem que fazendo um monte de termo some:
Passo 3
Substituindo as derivadas no polinômio:
Assim,