Seja y = ϕ ( x ) , uma solução da equação

y ' = x 2 + cos ⁡ y

satisfazendo a condição inicial ϕ 0 = 0 . Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de ϕ , em volta de x 0 = 0 .

Passo 1

Queremos achar o polinômio de Taylor de ordem 5 de ϕ em torno de x 0 = 0 :

P 5 x = ϕ x 0 + d ϕ d x x 0 x - x 0 + 1 2 d 2 ϕ d x 2 x 0 x - x 0 2 + 1 6 d 3 ϕ d x 3 x 0 x - x 0 3 + 1 24 d 4 ϕ d x 4 x 0 x - x 0 4 + 1 120 d 5 ϕ d x 5 x 0 x - x 0 5

Como x 0 = 0 , a expressão fica:

P 5 x = ϕ 0 + d ϕ d x 0   x + 1 2 d 2 ϕ d x 2 0   x 2 + 1 6 d 3 ϕ d x 3 0   x 3 + 1 24 d 4 ϕ d x 4 0   x 4 + 1 120 d 5 ϕ d x 5 0   x 5

Temos que calcular as derivadas em x 0 = 0 .

Passo 2

Como ϕ x é solução da equação diferencial:

d ϕ d x x = x 2 + cos ⁡ ϕ x

Como ϕ 0 = 0 , segue que

d ϕ d x 0 = 0 2 + cos ⁡ ϕ 0 = cos ⁡ 0 = 1

Derivando a equação diferencial:

d 2 ϕ d x 2 x = 2 x - s e n   ϕ x ⋅ d ϕ d x x

Fazendo x = 0 :

d 2 ϕ d x 2 0 = 0 - s e n   0 ⋅ d ϕ d x 0 = 0

Derivando mais uma vez:

d 3 ϕ d x 3 x = 2 - cos ⁡ x ⋅ d ϕ d x x 2 - s e n   x ⋅ d 2 ϕ d x 2 x

Fazendo x = 0 :

d 3 ϕ d x 3 0 = 2 - cos ⁡ 0 ⋅ d ϕ d x 0 2 - s e n   0   d 2 ϕ d x 2 0 = 2 - 1 - 0 = 1

Derivando novamente:

d 4 ϕ d x 4 x = s e n   x ⋅ d ϕ d x x 2 - 2 cos ⁡ x d ϕ d x x d 2 ϕ d x 2 x - cos ⁡ x ⋅ d 2 ϕ d x 2 x - s e n   x ⋅ d 3 ϕ d x 3 ( x )

Fazendo x = 0 :

d 4 ϕ d x 4 0 = 0 - 0 - 0 - 0 = 0

Por fim, tomando a derivada pela última vez:

d 5 ϕ d x 5 x = cos ⁡ x ⋅ d ϕ d x x 2 + 2   s e n   x   d ϕ d x x d 2 ϕ d x 2 x + 2   s e n   x   d ϕ d x x d 2 ϕ d x 2 x - 2 cos ⁡ x   d 2 ϕ d x 2 x 2 + d ϕ d x x d 3 ϕ d x 3 x + s e n   x   d 2 ϕ d x 2 x - cos ⁡ x d 3 ϕ d x 3 x - cos ⁡ x d 3 ϕ d x 3 x - s e n   x   d 4 ϕ d x 4 x

Ufa, ainda bem que fazendo x = 0 um monte de termo some:

d 5 ϕ d x 5 0 = 1 + 0 + 0 - 2 + 0 - 1 - 1 - 0 = - 3

Passo 3

Substituindo as derivadas no polinômio:

P 5 x = 0 + 1 ⋅ x + 0 + 1 6 ⋅ 1 ⋅ x 3 + 0 + 1 120 ⋅ - 3 ⋅ x 5

Assim,

P 5 x = x + x 3 6 - x 5 40

Resposta

P 5 x = x + x 3 6 - x 5 40

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