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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 89

Determine a área das regiões compreendidas entre

y = sec 2 ⁡ x             e         y = t g 2 ( x )                   , ,               - π 4 ≤ x ≤ π 4

Passo 1

Perceba que inicialmente esboçar o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver f x = sec 2 ⁡ x       é a função que está por cima , f x = t g 2 x é a função que está por baixo e a parte hachurada é região que desejamos calcular a área.

Sendo assim, pela definição temos que a integral da região será:

∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - t g x 2 d x

Utilizamos este intervalo de integração, pois foi dado no enunciado da questão.

Passo 3

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Sendo assim,

Usando a regra da subtração (integral da subtração é a subtração das integrais)

∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - t g x 2 d x = ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 d x - ∫ - π 4 π 4 t g x 2 d x

Usando o fato de t g x 2 +1= sec ⁡ x 2 ⇒ t g x 2 =   sec ⁡ x 2 - 1 Daí,

- ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - t g x 2 d x = ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 d x - ∫ - π 4 π 4 t g x 2 d x = ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 d x - ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - 1 d x

Usando a regra da subtração (integral da subtração é a subtração das integrais)

∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - t g x 2 d x = ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 d x - ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 d x - ∫ - π 4 π 4 1 d x

Resolvendo respectivamente cada uma das integrais teremos,

∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - t g x 2 d x = ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 d x - ∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 d x - ∫ - π 4 π 4 1 d x

= t g x ​ - π 4 π 4 -   t g x ​ - π 4 π 4 - x ​ - π 4 π 4

Usando o Teorema Fundamental do Calculo Parte II,

∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - t g x 2 d x = t g x ​ - π 4 π 4 - t g x ​ - π 4 π 4 - x ​ - π 4 π 4

= t g π 4 - t g - π 4 -     t g π 4 - t g - π 4 - π 4 - - π 4   = t g π 4 - t g - π 4 -     t g π 4 - t g - π 4 - π 4 + π 4      

Usando o fato de t g - π 4 = - t g π 4

∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - t g x 2 d x = t g π 4 - t g - π 4 -     t g π 4 - t g - π 4 - π 4 + π 4  

= t g π 4 + t g π 4 -     t g π 4 + t g π 4 - 2 . π 4  

= 2 . t g π 4 -     2 . t g π 4 - π 2  

Como   t g π 2 = 1 ,

∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - t g x 2 d x = 2 . t g π 4 -     2 . t g π 4 - π 2   = 2 . 1 -     2 . 1 - π 2   = 2 - 2 - π 2   = 2 - 2 + π 2 = π 2

Logo,

∫ - π 4 π 4 sec ⁡ x 2 - t g x 2 d x = π 2 .

Resposta

Área da região entre y = sec ⁡ x 2   e y = t g x 2   quando   - π 4 ≤ x ≤ π 4     é igual π 2 .

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Determine a área da região” triangular” no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y = e x 2 abaixo pela curva y = e - x 2 e à direita pelas curva y = 2 l n ( 2 )
Determine a área das regiões compreendidas entre y = s e n ( π x 2 ) e y = x
Determine a área da região” triangular” no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y = e 2 x , abaixo pela curva y = e x e à direita pelas curva y = l n ( 3 ) .
Determine a área da região no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo y , abaixo pela reta y = x 4 , acima à esquerda pela curva y = 1 + x e acima à direita pela curva y = 2 x .
Determine a área das regiões compreendidas entre y = c o s ( π x 2 ) e y = 1 - x 2