Determine a área da região no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo , abaixo pela reta acima à esquerda pela curva e acima à direita pela curva

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver temos duas regiões, isto é , de até é a função que está por cima , é a função que está por baixo. Porém a partir de até , é passa a ser a função que está por cima eé a função que está por baixo. Sendo que em ambas as regiões a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Sendo assim a integral será:

Cujos limites de integração foram obtidos, a partir de onde uma região inicia, até onde a outra começa e vai até onde a parte hachurada termina.

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Mas para não nos confundirmos vamos calcular cada uma separadamente,

Resolvendo integral 1

Usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)

Usando a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral) e o fato de

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

Logo a integral 1

Resolvendo integral 2

Usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)e a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral),

Usando o fato de

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

Logo a integral 2

Portanto,