Determine uma curva γ t ,   t   ϵ   I , que passa pelo ponto dado e tal que, para todo t   ϵ   I , γ ' t seja ortogonal a F → γ t , onde F → x , y é o campo vetorial dado por:

1 ,   2     e     F → x , y = y i → + ( x + y 2 ) j →

Passo 1

É isso aiii!!

Bora animar galerinhaa, que vamos pra mais umaaa!!

Para que γ = γ t seja normal ao campo vetorial dado por F → x , y = y i → + ( x + y 2 ) j → é necessário que o produto escalar entre   γ ' t   e F → x , y seja igual a 0.

Então, vamos começar olhando a derivada:

γ ' t = d x d x , d y d x = 1 , d y d x

Usando o produto escalar e igualando a zero:

γ ' t . F → x , y = 1 , d y d x . ( y ,   x + y 2 )

1 . y + x + y 2 d y d x = 0

y + x + y 2 d y d x = 0

Reorganizando:

d y d x = - y x + y 2

Vamos reorganizar a equação:

x + y 2 d y = - y d x

Ou melhor:

x + y 2 d y + y d x = 0

Para atender a igualdade acima nós vamos assumir que:

d φ d y = x + y 2

d φ d x = y

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função φ = φ ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d φ = x + y 2 . d y

Quando nós integramos:

φ = x y + y 3 3

Agora, para ter a segunda condição:

d φ = y . d x

Quando nós integramos:

φ = x y

Se é assim:

φ x ,   y = x y + y 3 3

Portanto nós concluímos que a equação x + y 2 d y + y d x = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x y + y 3 3 = k , em que k é uma constante.

Passo 2

Agora nós precisamos saber que, quando ( 1 ,   2 ) nós podemos substituir:

x = 1     e     y = 2

Substituindo:

φ ( 1 ,   2 ) = 1.2 + 2 3 3 = k

Então:

k = 14 3

Agora que achamos o valor da nossa constante nós concluímos que:

x y + y 3 3 = 1 4 3

Como nós queremos o valor de y que permite a derivada acima nós vamos isolá-lo:

3 x y + y 3 = 14

Então a equação acima é ortogonal ao campo dado e passa pelo ponto 1 ,   2 .

Para expressá-la na forma parametrizada basta considerarmos y = t e com isso determinar x:

3 x t + t 3 = 14

x = 14 - t 3 3 t

Portanto, concluímos que a curva que satisfaz às condições indicadas é:

γ t = 14 - t 3 3 t , t = 14 - t 3 3 t i → + t j →

E fiiim !!

Resposta

γ t = 14 - t 3 3 t , t = 14 - t 3 3 t i → + t j →

Ver Outros Exercícios desse livro