Verifique que é exata e resolva.

- (y)/((x^2 + y^2)) d x + (x)/((x^2 + y^2)) d y = 0

Passo 1

Vamos que vamos para mais uma letrinhaa !!

Para que a equação acima seja exata nós vamos chamar:

(d phi)/(d x) = - (y)/((x^2 + y^2))

(d phi)/(d y) = (x)/((x^2 + y^2))

Bom galerinha, vamos começar pela primeira condição, ok?

d phi = - (y)/((x^2 + y^2)) . d x

Quando nós integramos:

phi = - t g^(- 1) ((x)/(y))

Agora, para ter a segunda condição:

(d phi)/(d y) = (x)/((x^2 + y^2))

Se nós olharmos a função phi ( x , y ) e derivá-la em função de y:

(d)/(d y) phi ( x , y ) = - (d)/(d y) [t g^(- 1) ((x)/(y))]

(d)/(d y) phi (x , y) = - (1)/((1 + ((x)/(y))^2)/(y^2)) xx (d)/(d y) ((x)/(y))

(d)/(d y) phi (x , y) = - (y^2)/(1 + ((x)/(y))^2) xx x ( - y^(- 2) )

(d)/(d y) phi (x , y) = (x)/(1 + ((x)/(y))^2)

Sendo assim, phi = - t g^(- 1) ((x)/(y)) atende as duas condições !!

Ou melhor:

phi ( x , y ) = - t g^(- 1) ((x)/(y))

Portanto nós concluímos que a equação - (y)/((x^2 + y^2)) d x + (x)/((x^2 + y^2)) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por - t g^(- 1) ((x)/(y)) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) ) = - t g^(- 1) ((x)/(y))

Ver Outros Exercícios desse livro