Determine o domínio da função f dada por:

f x = ∑ n = 1 + ∞ n ! x n  

O domínio de f é o conjunto dos x para os quais a série é convergente.

Passo 1

Preparados para começar?

Então vamoo que vamooo ...

Usando o critério de Morgan:

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ x n 1 - n a n + 1 a n - 1

Sendo assim:

a n + 1 a n = ( n + 1 ) ! x n + 1 n ! x n = ( n + 1 ) n ! x n x n ! x n = ( n + 1 ) x

Calculando o limite:

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ x n 1 - n ( n + 1 ) x - 1 = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ x n - n 2 x ( n + 1 ) - 1

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ x n - n 3 x - n 2 x - 1 = ∞

Então, pelo critério de Morgan a série é divergente para todo x ≠ 0 !!

Passo 2

Agora se nós usarmos o critério de Raabe:

L = lim x → 0 + ⁡ n 1 - n a n + 1 a n

Substituindo:

L = lim x → 0 + ⁡ n 1 - n ( n + 1 ) x = lim n → 0 + ⁡ n - n 3 x - n 2 x = n

Quando nós temos x = 0 , o L > 1 e n > 1 e, portanto, a série é convergente !!

Agora quando nós temos x = 0 , o L < 1 e n < 1 e, portanto, a série é divergente !!

E fiiim !!

Resposta

x ≠ 0 → D i v e r g e n t e           x = 0   e   n > 1 → C o n v e r g e n t e                   x = 0   e   n < 1 → D i v e r g e n t e

Ver Outros Exercícios desse livro