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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 34

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.

x = u 2 + 1 ,     y = v 3 + 1 ,     z = u + v ,     ( 5,2 , 3 )

Passo 1

Fala, pessoal! Um beijo pra vocês

A questão pede pra gente determinar uma equação do plano tangente à superfície parametrizada no ponto

( 5,2 , 3 )

Com as seguintes informações:

x = u 2 + 1

y = v 3 + 1

z = u + v

Primeiramente deixaremos as equações paramétricas nesse formato aqui:

r u , v = x u , v i ⃑ + y u , v j ⃑ + z u , v k ⃑

Substituindo o que a questão nos deu, teremos então:

r u , v = u 2 + 1 i ⃑ + v 3 + 1 j ⃑ + u + v k ⃑

Passo 2

Pra gente calcular a tangente de um plano, temos que calcular os vetores tangentes a curva no ponto, fazendo as derivadas parciais de r em relação a u e a v . Assim:

r u = ∂ x ∂ u u o , v o i ⃑ + ∂ y ∂ u u o , v o j ⃑ + ∂ z ∂ u u o , v o k ⃑

r v = ∂ x ∂ v u o , v o i ⃑ + ∂ y ∂ v u o , v o j ⃑ + ∂ z ∂ v u o , v o k ⃑

O primeiro vetor tangente a curva no ponto será com r em relação a v .

Substituindo x ,   y e z na fórmula, teremos

r v = ∂ u 2 + 1 ∂ v u o , v o i ⃑ + ∂ v 3 + 1 ∂ v u o , v o j ⃑ + ∂ u + v ∂ v u o , v o k ⃑

Resolvendo, chegaremos a

r v = 3 v 2 j ⃑ + k ⃑

O outro vetor tangente será quando derivarmos r em relação a u . Jogando na fórmula, teremos:

r u = ∂ u 2 + 1 ∂ u u o , v o i ⃑ + ∂ v 3 + 1 ∂ u u o , v o j ⃑ + ∂ u + v ∂ u u o , v o k ⃑

r u = 2 u i ⃑ + k →

Passo 3

Agora precisamos calcular um vetor normal para o plano tangente, que é o produto vetorial de

r u × r v = i j k 2 u 0 1 0 3 v 2 1

Aqui você pode encontrar o determinante de muitas formas. Mas, utilizando o método de Sarrus, vamos encontrar:

i j k 2 u 0 1 0 3 v 2 1 i j 2 u 0 0 3 v 2

Fazendo a soma entre o resultado das multiplicações entre as diagonais principais e subtraindo pelo resultado das multiplicações entre as diagonais secundárias, chegamos a esse resultado:

- 3 v 2 i ⃑ - 2 u j ⃑ + 6 u v 2 k ⃑

Passo 4

Agora aplicaremos os vetores tangentes no ponto 5,2 , 3 que, substituindo nas equações paramétricas, equivalem a

u = 2

v = 1

Assim,

- 3 1 2 i ⃑ - 2 ( 2 ) j ⃑ + 6 ( 2 ) ( 1 ) 2 k ⃑

- 3 i ⃑ - 4 j ⃑ + 12 k ⃑

Logo, o plano que é tangente ao vetor r u × r v será, então

- 3 x - 5 - 4 y - 2 + 12 z - 3 = 0

3 x + 4 y - 12 z = - 13

Resposta

3 x + 4 y - 12 z = - 13

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