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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 5f

Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.

f) r → u ,   v = u ,   v ,   4 - u 2 - v 2 ;   P 1 ,   1 ,   2

Passo 1

Bom gente, já sabemos que a equação da reta normal é dada por:

r → u 0 , v 0 + t ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0

O vetor posição será:

r → u 0 , v 0 = 1 ,   1 ,   2

Mas ainda precisamos de ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 . E como?

Vamos começar achar u 0 e v 0 :

x = u

y = v

z = 4 - u 2 - v 2

Substituindo os valores do ponto:

x = u = 1

y = v = 1

Passo 2

Na curva u nós temos:

r → u . 1 = u , 1 ,   4 - u 2 - 1 2

r → u . 1 = u , 1 ,   3 - u 2

Então:

∂ r → ∂ u P = 1 ,   0 ,   -   1 3 - u 2

Substituindo o u:

∂ r → ∂ u P = 1 ,   0 ,   - 1 2

Para a v-curva, teremos:

r → 1 . v = 1 ,   v ,   4 - 1 2 - v 2

r → 1 . v = 1 ,   v ,   3 - v 2

Então:

∂ r → ∂ v P = 0 ,   1 ,   - 1 3 - v 2

Substituindo o u:

∂ r → ∂ v P = 0 ,   1 , -   1 2

Passo 3

Para finalizar:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 1 ,   0 ,   - 1 2 × 0 ,   1 , -   1 2

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

1 ,   0 ,   - 1 2 × 0 ,   1 , -   1 2 = 0 × -   1 2 +   1 2 × 1 ,     -   1 2 × 0 -   1 × -   1 2 ,     1 × 1 -   0 × 0

= 1 2 ,   1 2 ,   1

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 2 2 ,   2 2 ,   1

Colocando nossos dados na equação da reta normal:

1 ,   1 ,   2 + t 2 2 ,   2 2 ,   1

= 1 + 2 2 t ,     1 + 2 2 t ,     2 + t

E terminamos mais uma galerinha !!

Resposta

1 + 2 2 t ,     1 + 2 2 t ,     2 + t

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