Determine uma família de curvas que seja ortogonal à família dada.

a )   x 2 + 2 y 2 = c

Passo 1

Começamos a resolução derivando a equação dada:

2 x + 4 y d y d x = 0

Rearranjando:

d y d x = - 2 x 4 y = - x 2 y

Passo 2

Já encontramos a inclinação da família de hipérboles. Sabemos que o coeficiente angular da família de curvas ortogonais vai ser:

y ' = - 1 y '

Pois esse é o pré-requisito para termos uma curva que faça 90° com as nossas curvas iniciais. Então temos que fazer:

d y d x = - 1 - x 2 y = 2 y x

Passo 3

Perceba que agora chegamos um uma EDO separável, e basta integrar os dois lados para encontrar a nossa curva:

d y 2 y = d x x

Integrando, obtemos:

1 2 ln ⁡ y = ln ⁡ x + c

ln ⁡ y = 2 ln ⁡ x + c

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 + c

Aplicando exponencial:

y = c x 2

Resposta

y = c x 2

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