Utilizando o exercício anterior, resolva a equação

x + y d x + - x + y d y = 0 ,   y > 0

Passo 1

Rearranjando a equação:

d y d x = x - y x + y

Para resolvermos essa questão, devemos fazer:

u = y x   e   y ' = ( u x ) '

E substituir na equação dada:

( u x ) ' = x - u x x + u x

Simplificando:

( u x ) ' = 1 - u 1 + u

Passo 2

Sendo:

( u x ) ' = x u ' + u

Temos:

x u ' + u = 1 - u 1 + u

Rearranjando:

u ' = d u d x = 1 - 2 u - u 2 x ( 1 + u )

Passo 3

Separando as variáveis:

1 + u 1 - 2 u - u 2 d u = d x x

∫ 1 + u 1 - 2 u - u 2 d u = ∫ d x x

Integrando:

- 1 2 ln ⁡ | 1 - 2 u - u 2 | = ln ⁡ x + c

Aplicando exponencial:

1 1 - 2 u - u 2 = x e c

Voltando u = y x :

1 1 - 2 y x - y x 2 = x e c

Resposta

1 1 - 2 y x - y x 2 = x e c

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