O movimento de uma partícula no plano é regido pela equação

d x d t = - 2 y d y d t = x

Desenhe a trajetória descrita pela partícula, supondo que o movimento se inicia na posição 0 ,   a ,   a > 0 .

Passo 1

Baseando no E x e m p l o   9   d a   S e ç ã o   10.11 .

Para iniciarmos a resolução, primeiramente multiplicaremos a 1 ª equação por x e a segunda por 2 y e somando membro a membro, temos:

x d x d t + 2 y d y d t = 0

Segue que toda solução

x = x ( t ) y = y ( t )

Do sistema dado é, também, solução da equação obtida, ou seja, da equação:

x   d x + 2 y   d y = 0

Passo 2

Integrando:

∫ x   d x + ∫ 2 y   d y = 0

Obtemos:

x 2 2 + y 2 = k

Ou

x 2 + 2 y 2 = 2 k

Passo 3

Supondo que o movimento se inicia na posição 0 ,   a :

0 2 + 2 ⋅ a 2 = 2 k

2 a 2 = 2 k

k = a 2

Então:

x 2 + 2 y 2 = a 2

Desenhando, temos:

Resposta

x 2 + 2 y 2 = a 2

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