Determine uma família de soluções da equação

(d y)/(d x) = (2 x^2 + y^2)/(2 x^2) , x > 0

Passo 1

Para resolvermos essa questão, devemos fazer:

u = (y)/(x) e y^' = ( u x ) '

E substituir na equação dada:

( u x ) ' = ((2 x^2 + u^2 x^2))/(2 x^2)

Simplificando:

( u x ) ' = (2 + u^2)/(2)

Passo 2

Sendo:

( u x )^' = x u^' + u

Temos:

x u^' + u = (2 + u^2)/(2)

Rearranjando:

u^' = (d u)/(d x) = (2 + u^2 - 2 u)/(2 x)

Passo 3

Separando as variáveis:

(d u)/(2 + u^2 - 2 u) = (d x)/(2 x)

int (d u)/(2 + u^2 - 2 u) = int (d x)/(2 x)

Integrando:

arctan ( u - 1 ) = (1)/(2) ln x + c

Isolando u :

u - 1 = tan ((1)/(2) ln x + c)

u = tan ((1)/(2) ln x + c) + 1

Voltando u = (y)/(x) :

(y)/(x) = tan ((1)/(2) ln x + c) + 1

y = x tan ((1)/(2) ln x + c) + x

Resposta

y = x tan ((1)/(2) ln x + c) + x

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