Determine um fator integrante e resolva.

(3 y^2 - x^2 + 1) d x + 2 x y d y = 0 , x > 0

Passo 1

E aqui estamos, começando mais uma questão super interessante !!

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = 3 y^2 - x^2 + 1

Q (x , y) = 2 x y

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 6 y

Q_x = 2 y

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (6 y - 2 y)/(2 x y) . d x) = e^(int (4 y)/(2 x y) . d x) = e^(int (2)/(x) . d x)

mu (x , y) = e^(2 . ln x) = e^(ln x^2)

mu (x , y) = x^2

Multiplicando cada termo por x²:

(3 x^2 y^2 - x^4 + x^2) d x + 2 x^3 y d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = 3 x^2 y^2 - x^4 + x^2

(d phi)/(d y) = 2 x^3 y

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função phi = phi ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d phi = (3 x^2 y^2 - x^4 + x^2) . d x

Quando nós integramos:

phi = x^3 y^2 - (x^5)/(5) + (x^3)/(3)

Olhando a segunda:

d phi = (2 x^3 y) . d y

E integrando:

phi = x^3 y^2

Ou melhor:

phi ( x , y ) = x^3 y^2 - (x^5)/(5) + (x^3)/(3)

Portanto nós concluímos que a equação (3 x^2 y^2 - x^4 + x^2) d x + 2 x^3 y d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x^3 y^2 - (x^5)/(5) + (x^3)/(3) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = x^3 y^2 - (x^5)/(5) + (x^3)/(3)

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