Resolva pelo processo que achar mais conveniente

y^' = x y^2

Passo 1

E aqui estamos, começando mais uma questão super interessante !!

Vamos reescrever esta equação:

(d y)/(d x) = x y^2

x y^2 d x - d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = x y^2

Q (x , y) = - 1

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 2 x y

Q_x = 0

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (2 x y -)/(- 1) . d x) = e^(int - 2 x y . d x) = e^(- 2 y int x . d x)

mu (x , y) = e^(- x^2 y)

Multiplicando cada termo por e^(- x^2 y) :

x y^2 e^(- x^2 y) d x - e^(- x^2 y) d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = x y^2 e^(- x^2 y)

(d phi)/(d y) = - e^(- x^2 y)

Portanto nós concluímos que a equação x y^2 e^(- x^2 y) d x - e^(- x^2 y) d y = 0 é exata quando estas duas condições são satisfeitas !!

De boa, não é?

Resposta

phi = phi ( x , y )

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