Resolva as equações de Bernoulli dadas:

(d y)/(d x) + y = x y^3 , y != 0

Passo 1

E aqui estamos, começando mais uma questão super interessante !!

Vamos reorganizar:

(d y)/(d x) = x y^3 - y

(y - x y^3) d x + d y = 0

Dividindo todos os termos por y^3 :

(x - y^(- 2)) d x - y^(- 3) d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = x - y^(- 2)

Q (x , y) = y^(- 3)

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 2 y^(- 3)

Q_x = 0

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (2 y^(- 3) - 0)/(y^(- 3)) . d x) = e^(int (2 y^(- 3))/(y^(- 3)) . d x) = e^(int 2 . d x)

mu (x , y) = e^(2 x)

Multiplicando cada termo por e^(2 x) :

(x e^(2 x) - e^(2 x) y^(- 2)) d x - e^(2 x) y^(- 3) d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = x e^(2 x) - e^(2 x) y^(- 2)

(d phi)/(d y) = e^(2 x) y^(- 3)

Quando nós integramos:

phi (x , y) = (2 x - 1)/(4) e^(- 2 x) + (e^(2 x))/(2 y^2)

Portanto nós concluímos que a equação (x e^(2 x) - e^(2 x) y^(- 2)) d x - e^(2 x) y^(- 3) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por (2 x - 1)/(4) e^(- 2 x) + (e^(2 x))/(2 y^2) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = (2 x - 1)/(4) e^(- 2 x) + (e^(2 x))/(2 y^2)

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