Determine um fator integrante e resolva.

(x y^2 + 2) d x + 3 x^2 y d y = 0 , x > 0

Passo 1

Bora seguindo pra letra (b) !!

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = x y^2 + 2

Q (x , y) = 3 x^2 y

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 2 x y

Q_x = 6 x y

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (2 x y - 6 x y)/(3 x^2 y) . d x) = e^(int (- 4 x y)/(3 x^2 y) . d x) = e^(int (- 4)/(3 x) . d x)

mu (x , y) = e^(- (4)/(3) . ln x) = e^(ln x^(- (4)/(3)))

mu (x , y) = x^(- (4)/(3))

Multiplicando cada termo por x^(- (4)/(3)) :

(x^(- (1)/(3)) y^2 + 2 x^(- (4)/(3))) d x + 3 x^((2)/(3)) y d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = x^(- (1)/(3)) y^2 + 2 x^(- (4)/(3))

(d phi)/(d y) = 3 x^((2)/(3)) y

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função phi = phi ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d phi = (x^(- (1)/(3)) y^2 + 2 x^(- (4)/(3))) . d x

Quando nós integramos:

phi = (x^((2)/(3) ) y^2)/((2)/(3)) - (2 x^(- (1)/(3)))/((1)/(3)) = (3 x^((2)/(3) ) y^2)/(2) - 6 x^(- (1)/(3))

Olhando a segunda:

d phi = (3 x^((2)/(3)) y) . d y

E integrando:

phi = (3 x^((2)/(3)) y^2)/(2)

Ou melhor:

phi ( x , y ) = (3 x^((2)/(3) ) y^2)/(2) - 6 x^(- (1)/(3))

Portanto nós concluímos que a equação (x^(- (1)/(3)) y^2 + 2 x^(- (4)/(3))) d x + 3 x^((2)/(3)) y d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por (3 x^((2)/(3) ) y^2)/(2) - 6 x^(- (1)/(3)) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = (3 x^((2)/(3) ) y^2)/(2) - 6 x^(- (1)/(3))

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