Resolva pelo processo que achar mais conveniente

y^' = (x + 1)/(y^2 + 1)

Passo 1

E aqui estamos, começando mais uma questão super interessante !!

Vamos reescrever esta equação:

(d y)/(d x) = (x + 1)/(y^2 + 1)

(x + 1) d x - (y^2 + 1) d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = x + 1

Q (x , y) = - y^2 - 1

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 0

Q_x = 0

Como elas são iguais a igualdade (x + 1) d x - (y^2 + 1) d y = 0 tem solução exata!!

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = x + 1

(d phi)/(d y) = - y^2 - 1

Olhando a primeira condição:

d phi = (x + 1) d x

E integrando:

phi = (x^2)/(2) + x

Olhando a segunda condição:

d phi = (- y^2 - 1) d y

E integrando:

phi = - (y^3)/(3) - y

Ou melhor:

phi = (x^2)/(2) + x - (y^3)/(3) - y

Portanto nós concluímos que a igualdade (x + 1) d x - (y^2 + 1) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por (x^2)/(2) + x - (y^3)/(3) - y = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi (x , y) = (x^2)/(2) + x - (y^3)/(3) - y

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