Determine um fator integrante e resolva.

x y d x + (x^2 - y^2) d y = 0 , y > 0

Passo 1

Bora seguir pra letra (c) !!

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = x y

Q (x , y) = x^2 - y^2

Derivando P em y e Q em x:

P_y = x

Q_x = 2 x

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (Q_x - P_y)/(P) . d y)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (2 x - x)/(x y) . d y) = e^(int (x)/(x y) . d y) = e^(int (1)/(y) . d y)

mu (x , y) = e^(ln y)

mu (x , y) = y

Multiplicando cada termo por y :

x y^2 d x + (x^2 y - y^3) d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = x y^2

(d phi)/(d y) = x^2 y - y^3

Vamos começar pela primeira condição:

d phi = (x y^2) . d x

Quando nós integramos:

phi = (x^(2 ) y^2)/(2)

Olhando a segunda:

d phi = (x^2 y - y^3) . d y

E integrando:

phi = (x^(2 ) y^2)/(2) - (y^4)/(4)

Ou melhor:

phi ( x , y ) = (x^(2 ) y^2)/(2) - (y^4)/(4)

Portanto nós concluímos que a equação x y^2 d x + (x^2 y - y^3) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por (x^(2 ) y^2)/(2) - (y^4)/(4) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = (x^(2 ) y^2)/(2) - (y^4)/(4)

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