Resolva pelo processo que achar mais conveniente

(d y)/(d x) + y = y^2

Passo 1

E já estamos na letra c, animados?

Vamos reescrever esta equação:

(d y)/(d x) = y^2 - y

(y^2 - y) d x - d y = 0

Dividindo por y^2 :

(1 - y^(- 1)) d x - y^(- 2) d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = 1 - y^(- 1)

Q (x , y) = - y^(- 2)

Derivando P em y e Q em x:

P_y = y^(- 2)

Q_x = 0

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (y^(- 2) - 0)/(- y^(- 2)) . d x) = e^(int - 1 . d x) = e^(- x)

Multiplicando cada termo por e^(- x) :

e^(- x) (1 - y^(- 1)) d x - y^(- 2) e^(- x) d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = e^(- x) (1 - y^(- 1))

(d phi)/(d y) = - y^(- 2) e^(- x)

Olhando a primeira condição:

d phi = e^(- x) (1 - y^(- 1)) d x

E integrando:

phi = - e^(- x) (1 - y^(- 1)) = (e^(- x))/(y) - e^(- x)

Olhando a segunda condição:

d phi = - y^(- 2) e^x . d y

E integrando:

phi = - (y^(- 1))/(- 1) e^(- x) = y^(- 1) e^(- x) = (e^(- x))/(y)

Ou melhor:

phi = (e^(- x))/(y) - e^(- x)

Portanto nós concluímos que a igualdade e^(- x) (1 - y^(- 1)) d x - y^(- 2) e^(- x) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por (e^(- x))/(y) - e^(- x) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi (x , y) = (e^(- x))/(y) - e^(- x)

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