Estabeleça uma fórmula para as soluções da equação de Bernoulli:

d y d x + p ( x ) y = q x y α ,           y ≠ 0

Onde p ( x ) e q ( x ) são supostas contínuas num mesmo intervalo I e α ≠ 0 um real dado.

Sugestão: Veja a Seção 15.3 deste volume.

Passo 1

Bora pra mais umaaa !!!

Vamos reorganizar:

d y d x = q x y α - p ( x ) y

q x y α - p ( x ) y d x - d y = 0

Dividindo todos os termos por y α :

q x - p x y 1 - α d x - y - α d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P x ,   y = q x - p x y 1 - α

Q x ,   y = - y - α

Derivando P em y e Q em x:

P y = ( α - 1 ) p x y - α

Q x = 0

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função μ ( x ,   y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função μ ( x ,   y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

μ x ,   y = e ∫ P y - Q x Q . d x

Substituindo:

μ x ,   y = e ∫ ( α - 1 ) p x y - α - 0 - y - α . d x = e ∫ ( 1 - α ) p ( x ) . d x = e ( 1 - α ) ∫ p ( x ) . d x

μ x ,   y = e ( 1 - α ) ∫ p ( x ) . d x

Multiplicando cada termo por e ( 1 - α ) ∫ p ( x ) . d x :

e ( 1 - α ) ∫ p ( x ) . d x q x - p x y 1 - α d x - e ( 1 - α ) ∫ p ( x ) . d x y - α d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

d φ d x = e ( 1 - α ) ∫ p ( x ) . d x q x - p x y 1 - α

d φ d y = - e ( 1 - α ) ∫ p ( x ) . d x y - α

Portanto nós concluímos que a equação e ( 1 - α ) ∫ p ( x ) . d x q x - p x y 1 - α d x - e ( 1 - α ) ∫ p ( x ) . d x y - α d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por φ ( x ,   y ) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

φ ( x ,   y ) = k

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