Determine uma função x = x (t) , t in R , de classe C^1 tal que x (0) = 0 , overset(˙)(x) (0) = 1 e

overset(¨)(x) + x = {[[0 , s e t < pi],[1 , s e t > pi]])

Passo 1

Queremos resolver a equação diferencial:

overset(¨)(x) + x = {[[0 , s e t < pi],[1 , s e t > pi]])

Vamos resolver primeiro a equação

overset(¨)(x) + x = 0

Fazendo x = e^(p t) , caímos na equação característica:

p^2 + 1 = 0 => p = 0 +- i

Portanto, as soluções linearmente independentes são:

x = cos t e x = s e n t

Logo, a solução geral da equação homogênea overset(¨)(x) + x = 0 é

x_h (t) = A cos t + B s e n t

Passo 2

Para resolver a equação overset(¨)(x) + x = 1 , procuramos a solução particular do tipo

x_p (t) = C

Assim, substituindo na equação:

0 + C = 1 => C = 1 => x_p (t) = 1

Com isso, temos que a solução geral da equação overset(¨)(x) + x = 1 é dada pela soma da solução da equação homogêna com a solução particular da não homogênea:

x (t) = A cos t + B s e n t + 1

Mas nosso problema não era achar a solução da equação overset(¨)(x) + x = 1 , e sim da equação

overset(¨)(x) + x = {[[0 , s e t < pi],[1 , s e t > pi]])

Portanto, nossa solução deve ser

x (t) = {[[A cos t + B s e n t , t < pi],[B cos t + C s e n t + 1 , t > pi]])

Repare que usei coeficientes diferentes para t > pi e t < pi , isso vai ser importante!

Passo 3

A condição inicial era x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 1 . Note que isso é válido para t < pi . Assim,

0 = A cos 0 + B s e n 0 => A = 0 => x (t) = B s e n t

Derivando,

overset(˙)(x) (t) = B cos t

Assim, como overset(˙)(x) (0) = 1 :

1 = B cos 0 => B = 1

Portanto, para t < pi :

x (t) = s e n t

Queremos que a função seja de classe C^1 . Isso significa que x e overset(˙)(x) devem ser contínuas. O problema está em t = pi !

Passo 4

Para t < pi , temos que

x (t) = s e n t e overset(˙)(x) (t) = cos t

Para t > pi , temos que

x (t) = C cos t + D s e n t + 1 e overset(˙)(x) (t) = - C s e n t + D cos t

Para que a função seja de classe C^1 , temos que igualar os resultados das funções em t = pi :

{[[s e n pi = C cos pi + D s e n pi + 1],[cos pi = - C s e n pi + D cos pi]])

Ou ainda,

{[[0 = - C + 1],[- 1 = - D]])

Portanto,

C = D = 1

Com isso, a solução do problema é

x (t) = {[[s e n t , t <= pi],[cos t + s e n t + 1 , t > pi]])

Resposta

x (t) = {[[s e n t , t <= pi],[cos t + s e n t + 1 , t > pi]])

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