Determine uma função , , de classe tal que , e
Passo 1
Queremos resolver a equação diferencial:
Vamos resolver primeiro a equação
Fazendo , caímos na equação característica:
Portanto, as soluções linearmente independentes são:
Logo, a solução geral da equação homogênea é
Passo 2
Para resolver a equação , procuramos a solução particular do tipo
Assim, substituindo na equação:
Com isso, temos que a solução geral da equação é dada pela soma da solução da equação homogêna com a solução particular da não homogênea:
Mas nosso problema não era achar a solução da equação , e sim da equação
Portanto, nossa solução deve ser
Repare que usei coeficientes diferentes para e , isso vai ser importante!
Passo 3
A condição inicial era e . Note que isso é válido para . Assim,
Derivando,
Assim, como :
Portanto, para :
Queremos que a função seja de classe . Isso significa que e devem ser contínuas. O problema está em !
Passo 4
Para , temos que
Para , temos que
Para que a função seja de classe , temos que igualar os resultados das funções em :
Ou ainda,
Portanto,
Com isso, a solução do problema é