Determine uma função cujo gráfico passe pelo ponto e tal que, para todo no seu domínio, a área do triângulo de vértices e seja igual a , onde é a interseção da reta tangente em com o eixo .
Passo 1
Começaremos esse problema tomando , que é a função desejada.
Pela condição apresentada , temos uma suposição que em um intervalo aberto, com em .
Supondo uma função decrescente.
A equação da reta tangente no ponto é:
Essa reta que encontra o eixo em:
Passo 2
Tomando a área do triângulo de vértices e igual a :
Substituindo :
Desse modo, temos:
Passo 3
Separando as variáveis:
Integrando:
Passo 4
Voltando a condição :
Desse modo:
Passo 5
Para uma função crescente:
Aplicando a condição :
Então: