Seja T uma reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) e sejam A e B as interseções de T com os eixos coordenados. Determine uma função f , cujo gráfico não seja uma reta, tal que o segmento A B tenha comprimento 1, para toda tangente T .

( S u p o n h a   q u e   o   g r á f i c o   d e   f   e s t e j a   c o n t i d o   n o   1 °   q u a d r a n t e   e   q u e   f ' x < 0 ) .

Passo 1

Para iniciarmos a resolução, primeiramente temos que:

A equação da reta tangente se dá:

y 2 - y 1 = d y d x ( x 2 - x 1 )

Adotaremos A como a interseção com o eixo y , e B com o eixo x .

A x 1 ,   y 1   e   B ( x 2 , y 2 )

Para A, faremos x 1 = 0 :

y 2 - y 1 = x 2 d y d x

y 1 = y 2 - x 2 d y d x

Para B, faremos y 2 = 0 :

- y 1 = ( x 2 - x 1 ) d y d x

x 2 = x 1 - y 1 d x d y

Desse modo, temos:

A 0 , y 2 - x 2 d y d x   e   B x 1 - y 1 d x d y , 0

Passo 2

Temos que o segmento A B tem comprimento igual a 1:

A B - = 1

1 2 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Substituindo y 2 - y 1 = x 2 d y d x e x 2 - x 1 = - y 1 d x d y :

1 2 = - y 1 d x d y 2 + x 2 d y d x 2

1 2 = y 1 2 d x d y 2 + x 2 2 d y d x 2

Sendo y 1 = y 2 - x 2 d y d x e y 2 = 0 , temos y 1 = - x 2 d y d x :

1 2 = - x 2 d y d x 2 d x d y 2 + x 2 2 d y d x 2

1 2 = x 2 2 d y d x 2 d x d y 2 + x 2 2 d y d x 2

1 2 = x 2 2 + x 2 2   d y d x 2

Isolando d y d x :

d y d x = 1 - x 2 2 x 2

Separando as variáveis:

∫ d y = ∫ 1 - x 2 2 x 2 d x

Integrando, obtemos:

y 2 = ln ⁡ 1 + 1 2 - x 2 2 x 2 - 1 2 - x 1 2

Resposta

y 2 = ln ⁡ 1 + 1 2 - x 2 2 x 2 - 1 2 - x 1 2

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