Determine uma função y = f ( x ) definida num intervalo I , cujo gráfico passe pelo ponto 0 , 5 4 e tal que, para todo t > 0 ,   t ∈ I , o comprimento do gráfico de y = f x ,   0 ≤ x ≤ t , seja igual à área do conjunto 0 ≤ y ≤ f x ,   0 ≤ x ≤ t .

Passo 1

Para iniciarmos a questão, devemos observar o enunciado e analisar o gráfico dado.

Assim, nos deparamos com a seguinte equação:

y = 1 + d y d x 2

Rearranjando, temos que:

d y d x = y 2 - 1

Passo 2

Separando as variáveis:

d y y 2 - 1 = d x

Fazendo:

y = sec ⁡ u

d y = sec ⁡ u tan ⁡ u d u

Com 0 ≤ u ≤ π 2 .

Então:

d y y 2 - 1 = sec ⁡ u tan ⁡ u sec 2 ⁡ u - 1 = sec ⁡ u tan ⁡ u tan ⁡ u

Temos:

∫ sec ⁡ u tan ⁡ u tan ⁡ u d u = ∫ d x

Integrando:

ln ⁡ ( sec ⁡ u + t g   u ) = x + k

Voltando y = sec ⁡ u :

ln ⁡ y + y 2 - 1 = x + k

Passo 3

Para x = 0 temos y = 5 4 , calculamos k :

ln ⁡ 5 4 + 25 16 - 1 = 0 + k

k = ln ⁡ 2

Então, temos que:

ln ⁡ y + y 2 - 1 = x + ln ⁡ 2

Aplicando exponencial:

y + y 2 - 1 = 2 e x

Passo 4

Rearranjando:

y 2 - 1 = 2 e x - y 2

y 2 - 1 = 4 e 2 x - 4 y e x + y 2

4 y e x = 4 e 2 x + 1

Isolando y :

4 y = 4 e 2 x + 1 e x = 4 e x + e - x

y = 4 e x + e - x 4 = e x + e - x 4

y = e x + e - x 4

Com x ≥ 0 .

Resposta

y = e x + e - x 4

Ver Outros Exercícios desse livro