Determine uma função y = f ( x ) que tenha a seguinte propriedade: a reta tangente no ponto P = ( x ,   y ) encontra o eixo y no ponto Q de modo que, qualquer que seja o ponto P , o segmento P Q tenha comprimento constante a , a > 0 , e tal que f a = 0 .

Passo 1

A equação da reta tangente se dá:

y 2 - y 1 = d y d x ( x 2 - x 1 )

Fazendo x 2 = 0 :

y 2 - y 1 = - x 1 d y d x

Desse modo, temos:

P x , y   e   Q 0 , y 1 - x 1 d y d x

Passo 2

Temos que o segmento P Q tem comprimento constante igual a a :

P Q - = a

a 2 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Substituindo x 2 = 0 e y 2 - y 1 = - x 1 d y d x :

a 2 = - x 1 2 + - x 1 d y d x 2

a 2 = x 1 2 + x 1 2   d y d x 2

d y d x = a 2 - x 1 2 x 1

Separando as variáveis:

d y d x = a 2 - x 1 2 x 1

∫ d y = ∫ a 2 - x 1 2 x 1 d x

Integrando, obtemos:

y 1 = a ln ⁡ a + a 2 - x 1 2 x 1 - a 2 - x 1 2

Resposta

y 1 = a ln ⁡ a + a 2 - x 1 2 x 1 - a 2 - x 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro