Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo x , sendo o movimento regido pela equação

x ¨ = 1 x 2

Suponha que no instante t = 0 , x 0 = 1   e x ˙ 0 = 0 . Calcule o tempo gasto pela partícula para se deslocar da posição x = 1 até a posição x = 2 .

Passo 1

Baseando no E x e m p l o   6   d a   S e ç ã o   10.10

Temos:

x ¨ = 1 x 2

x ¨ - 1 x 2 = 0

Multiplicando por x ˙ , obtemos

x ¨ x ˙ - x ˙ x 2 = 0

Assim:

d d t x ˙ 2 2 + 1 x = x ¨ x ˙ - x ˙ x 2

Logo, existe uma constante c tal que, para todo t   ∈ I :

x ˙ 2 2 + 1 x = c

Pela condição inicial x 0 = 1 , temos:

c = 1

Então:

x ˙ 2 = 2 - 2 x

Passo 2

Desse modo, temos que:

x ˙ = 2 - 2 x

d x d t = 2 - 2 x

Separando as variáveis:

d t = d x 2 - 2 x

∫ d t = ∫ d x 2 - 2 x

Passo 3

Calculando t :

∫ 0 t d t = ∫ 1 2 d x 2 - 2 x

Integrando:

t = 1 2 x x - 1 x - 1 + ln ⁡ x + x - 1 2 1

t = 1 2 ln ⁡ ( 1 + 2 ) + 1 = 1,6

Resposta

t = 1 2 ln ⁡ ( 1 + 2 ) + 1 = 1,6

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