Determine n de modo que 2 ∑ k = 0 n 1 2 k + 1 ⋅ 3 2 k + 1 seja um valor aproximado de ln ⁡ 2 com erro, em módulo, inferior a 10 - 5 . Compare com o exercício 8. (Sugestão: Utilize 9b) e 11a).)

Passo 1

Nesse problema vamos utilizar o resultado do exercício 9b) e 11a). Lá vimos que:

ln ⁡ β - 2 ∑ k = 0 ∞ α 2 k + 1 2 k + 1 ≤ 2 2 n + 3 ⋅ α 2 n + 3 1 - α 2         e x e r c i c i o   10 b )

ln ⁡ 2 = 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 3 2 k + 1           e x e r c i c i o   11 a )

Esses são os dois resultados que vamos precisar para resolver. Vai ser bem mais fácil do que o enunciado faz parecer, então vamos lá!

Passo 2

Bem, como já dito no passo 1, vamos usar aqueles dois resultados dos exercícios anteriores. Temos pelo exercício 11a) que:

ln ⁡ 2 = 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 3 2 k + 1 ,     α = 1 3

Dessa forma, se usarmos agora o resultado do exercício 9b), vamos obter uma inequação que dará um limite para nossa série. Temos então que:

ln ⁡ 2 - 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 ⋅ 3 2 k + 1 ≤ 2 2 n + 3 ⋅ α 2 n + 3 1 - α 2

Se substituirmos α = 1 3 no lado direito da inequação, vamos chegar que

2 2 n + 3 ⋅ 1 3 2 n + 3 ⋅ 9 8

e esse resultado será menor que 10 - 5 para todo n ≥ 4 , basta ir chutando valores que iremos ver. Assim, podemos escrever toda nossa equação como

ln ⁡ 2 - 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 ⋅ 3 2 k + 1 ≤ 2 2 n + 3 ⋅ 1 3 2 n + 3 ⋅ 9 8 ≤ 10 - 5 ,     n ≥ 4

Comparando com o exercício 8, vemos que a convergência ocorre mais rápida, pois lá n ≥ 13 .

Resposta

n ≥ 4

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