Suponha alpha > 0 , calcule a soma da série

sum_(k = 0)^(+ oo) 2^k f (2^k)

Onde f (k) = 1 // k^(alpha)

Passo 1

Vamos começar por abrir nossa série e tentar identificar algumas coisa que nos ajude a resolver nosso problema.

Assim temos que

sum_(k = 0)^(+ oo) 2^k f (2^k) = sum_(k = 0)^(+ oo) (2^k)/((2^k)^(alpha)) = sum_(k = 0)^(+ oo) (2^(1 - alpha))^k

Hummmm interessante.

Isso lembra bastante a série geométrica. Não?

A série Geométrica tem a cara

sum_(k = 0)^(+ oo) r^k

E se |r| < 1 , temos que a série é convergente e converge pra

sum_(k = 0)^(+ oo) r^k = (1)/(1 - r)

Passo 2

Então observe que, para alpha > 1 , temos que 0 < 2^(1 - alpha) < 1 , ou seja, temos que nossa série é convergente e tem como resultado

sum_(k = 0)^(+ oo) 2^k f (2^k) = (1)/(1 - 2^(1 - alpha))

Para qualquer outro valor de alpha , ou seja 0 < alpha <= 1 , nossa série é dita divergente.

Resposta

Para alpha > 1

(1)/(1 - 2^(1 - alpha))

Para alpha <= 1 a série é divergente.

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