10. Seja a sequência de Picard para o problema
Determine , , e .
Observação: Suponha que e sejam contínuas no aberto e veja que . Sejam e dois reais tais que o retângulo
Esteja contido em . Seja tal que
No retângulo citado. Seja tal que
Passo 1
Poxa, sabemos que
Como a EDO que estamos trabalhando é essa daqui:
Podemos falar então que a função é:
O problema anterior nos definiu a sequência de Picard como sendo onde a gente encontra pela integral:
ORA BOLAS! Como , podemos trocar esse por e o por onde vamos obter...
Então essa integral no nosso caso se resume a...
Onde foi definido no enunciado como e no nosso caso. Então ...
Vamos calcular os primeiros termos pedidos dessa sequência então. Bora lá?
Passo 2
O primeiro termo pode ser encontrado substituindo por :
Ora bolas, sabemos do enunciado que , logo, ele vai ser :
Beleza, agora vamos ver quem é o segundo termo sessa sequência trocando o por agora...
Trocando por em ...
Integrando...
Para o último termo pedido...
Precisamos resolver esse quadrado antes:
Integrando...
Passo 3
Beleza! Então podemos concluir aqui que:
Tranquilo, néh?