10. Seja φ 0 ,   φ 1 ,   φ 2 ,   … ,   φ n ,   … a sequência de Picard para o problema

y ' = x 2 + y 2 ,       y 0 = 0

Determine φ 0 , φ 1 , φ 2 e φ 3 .

Observação: Suponha que f e ∂ f ∂ y sejam contínuas no aberto Ω e veja que x 0 ,   y 0 ∈ Ω . Sejam a > 0 e b > 0 dois reais tais que o retângulo

x 0 - a ≤ x ≤ x 0 + a                 e                   y 0 - b ≤ y ≤ y 0 + b

Esteja contido em Ω . Seja M > 0 tal que

f x ,   y ≤ M

No retângulo citado. Seja r > 0 tal que

r ≤ a       e       M r ≤ b

Passo 1

Poxa, sabemos que

y ' = f x ,   y

Como a EDO que estamos trabalhando é essa daqui:

y ' = x 2 + y 2

Podemos falar então que a função f x ,   y é:

f x ,   y = x 2 + y 2

O problema anterior nos definiu a sequência de Picard como sendo φ 0 ,   φ 1 ,   φ 2 , … ,   φ n ,   … onde φ n + 1 a gente encontra pela integral:

φ n + 1 x = y 0 + ∫ x 0 x f t ,   φ n t d t ,   n ≥ 0

ORA BOLAS! Como f x ,   y = x 2 + y 2 , podemos trocar esse x por t e o y por φ n onde vamos obter...

f t ,   φ n t = t 2 + φ n 2 t

Então essa integral no nosso caso se resume a...

φ n + 1 x = y 0 + ∫ x 0 x t 2 + φ n 2 t d t

Onde x 0 foi definido no enunciado como 0 e y x 0 = y 0 = 0 no nosso caso. Então ...

φ n + 1 x = ∫ 0 x t 2 + φ n 2 t d t

Vamos calcular os primeiros termos pedidos dessa sequência então. Bora lá?

Passo 2

O primeiro termo pode ser encontrado substituindo n por 0 :

φ 1 x = ∫ 0 x t 2 + φ 0 2 t d t

Ora bolas, sabemos do enunciado que φ 0 = y 0 , logo, ele vai ser 0 :

φ 1 x = ∫ 0 x t 2 d t

φ 1 x = t 3 3 0 x

φ 1 x = x 3 3

Beleza, agora vamos ver quem é o segundo termo sessa sequência trocando o n por 2 agora...

φ 2 x = ∫ 0 x t 2 + φ 1 2 t d t     →

Trocando x por t em φ 1 x ...

φ 2 x = ∫ 0 x t 2 + t 3 3 2 d t     →

φ 2 x = ∫ 0 x t 2 + t 6 3 2 d t     →

Integrando...

φ 2 x = t 3 3 + t 7 3 2 ⋅ 7 0 x

φ 2 x = x 3 3 + x 7 3 2 ⋅ 7

Para o último termo pedido...

φ 3 x = ∫ 0 x t 2 + φ 2 2 t d t     →

φ 3 x = ∫ 0 x t 2 + t 3 3 + t 7 3 2 ⋅ 7 2 d t     →

Precisamos resolver esse quadrado antes:

φ 3 x = ∫ 0 x t 2 + t 6 3 2 + 2 t 3 3 ⋅ t 7 3 2 ⋅ 7 + t 14 3 4 ⋅ 7 2 d t     →

φ 3 x = ∫ 0 x t 2 + t 6 3 2 + 2 t 10 3 3 ⋅ 7 + t 14 3 4 ⋅ 7 2 d t     →

Integrando...

φ 3 x =   t 3 3 + t 7 3 2 ⋅ 7 + 2 t 11 3 3 ⋅ 7 ⋅ 11 + t 15 3 4 ⋅ 7 2 ⋅ 15 0 x   →

φ 3 x =   x 3 3 + x 7 3 2 ⋅ 7 + 2 x 11 3 3 ⋅ 7 ⋅ 11 + x 15 3 4 ⋅ 7 2 ⋅ 15

Passo 3

Beleza! Então podemos concluir aqui que:

φ 0 x = 0

φ 1 x = x 3 3

φ 2 x = x 3 3 + x 7 3 2 ⋅ 7

φ 3 x =   x 3 3 + x 7 3 2 ⋅ 7 + 2 x 11 3 3 ⋅ 7 ⋅ 11 + x 15 3 4 ⋅ 7 2 ⋅ 15

Tranquilo, néh?

Resposta

φ 0 x = 0

φ 1 x = x 3 3

φ 2 x = x 3 3 + x 7 3 2 ⋅ 7

φ 3 x =   x 3 3 + x 7 3 2 ⋅ 7 + 2 x 11 3 3 ⋅ 7 ⋅ 11 + x 15 3 4 ⋅ 7 2 ⋅ 15

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