Determine y = y ( x ) que satisfaça as condições dadas.

b ) (d y)/(d x) = y^2 - 4 e y (1) = 2

Passo 1

Okay pessoal, essa EDO é bem simples! Primeiro vamos separar cada termo pra cada lado da equação!

(d y)/(d x) = y^2 - 4

(d y)/(y^2 - 4) = d x

Passo 2

Agora integraremos cada lado da equação!

int (d y)/(y^2 - 4) = int d x

A dificuldade está na integral do d y . Resolvendo-a, teremos que fatorar o denominador:

int (1)/(( y - 2 ) ( y + 2 )) d y

Agora, decompondo ela fazendo uma fração parcial, temos que ela nos retorna:

(- l n ( | y + 2 | ) - l n (|y - 2|))/(4)

Voltando para a nossa equação com a integral de d x , temos:

(- l n ( | y + 2 | ) - l n (|y - 2|))/(4) = x + k

Passo 3

Partindo do fato de que:

e^(ln a) = a

Temos:

ln (- (y - 2)/(y + 2)) = 4 x + 4 k

Elevando a “ e ” dos dois lados, temos:

- (y - 2)/(y + 2) = e^(4 x + 4 k)

Desenvolvendo:

- y + 2 = y * e^(4 x + 4 k) + 2 * e^(4 x + 4 k)

- y (1 + e^(4 x + 4 k)) = - 2 ( 1 - e^(4 + 4 k) )

Multiplicando por - 1 e isolando o y :

y = 2 (( 1 - e^(4 x + 4 k) ))/((1 + e^(4 x + 4 k)))

E por fim, aplicando o intervalo que a questão nos dá:

1 = (( 1 + e^(4 + 4 k) ))/(( 1 - e^(4 + 4 k) ))

Isolando o k, temos:

y = 2

Resposta

y = 2

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