Determine a série de Fourier da função dada:

(a) f (x) = {[[1,,,,,,,s,e,,0,<=,x,<=,pi],[0,,,s,e,-,pi,<=,x,<=,0]])

Passo 1

Bom, primeiro devemos saber que uma série de Fourier é uma forma de expressarmos uma função qualquer em termos de séries infinitas de senos e cossenos.

È interessante que você tente esboçar o gráfico da função para ver como ela se comporta, perceba então que temos uma função periódica com período T = 2 pi .

Podemos introduzir então a fórmula geral de uma série de Fourier:

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) a_n cos ((n pi x)/(l)) + sum_(n = 1)^(oo) b_n sin ((n pi x)/(l))

Onde a_0 , a_n e b_n são os coeficientes da série e l = (T)/(2) , portanto l = pi .

Agora vamos encontrar todos os coeficientes sabendo que eles possuem fórmulas específicas.

Passo 2

  1. Cálculo de a_0 :
  2. a_0 = (1)/(l) int_(- l)^l f ( x ) d x

    Sabendo que l = pi , é só substituir e integrar:

    a_0 = (1)/(pi) int_(- pi)^0 f (x) d x + (1)/(pi) int_0^(pi) f (x) d x

    Observe que f (x) = 0 n o i n t e r v a l o [ - pi ; 0 ) .

    Facilmente, encontramos:

    a_0 = (1)/(pi) [pi] = 1

  3. Cálculo de a_n :
  4. a_n = (1)/(l) int_(- l)^l f (x) cos ((n pi x)/(l)) d x

    Podemos novamente separar os limites, assim fica mais fácil observar o que acontece:

    a_n = (1)/(pi) {int_(- pi)^0 f (x) cos ((n pi x)/(pi)) d x + int_0^(pi) f (x) cos ((n pi x)/(pi)) d x}

    Mais uma vez note os valores que f ( x ) assume em cada intervalo, então obtemos:

    a_n = (1)/(pi) int_0^l cos (n x) d x

    Resolvendo a integral,

    a_n = (1)/(pi) [(1)/(n) sin (n x)] (pi)/(0)

    a_n = 0

    Obs: repare que s i n ( x ) é zero quando x = 0 o u x = pi

    Passo 3

    Quase acabando...

  5. Cálculo de b_n :

b_n = (1)/(l) int_(- l)^l f ( x ) sin ((n pi x)/(l)) d x

Mesma idéia, substituindo l = pi e resolvendo a integral:

b_n = (1)/(pi) int_0^(pi) f ( x ) sin (n x) d x

b_n = (- 1)/(pi n) [cos (n x)] (pi)/(0)

Portanto,

b_n = - (1)/(pi n) [cos (n pi) - 1]

Note que de acordo com o círculo trigonométrico, se n ímpar, cosseno será - 1 ( cos (1 pi) ; cos (3 pi) ; ... ) e caso n p a r cosseno será 1 ( cos (2 pi) ; cos (4 pi) ; ... )

Tendo isso em mente podemos denotar da seguinte forma:

b_n = - (1)/(n pi) [(- 1)^n - 1]

Ou,

b_n = (1)/(n pi) [1 - (- 1)^n]

Pronto, todos os coeficientes devidamente calculados, é só substituir na fórmula geral de uma série de Fourier:

f (x) = (1)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n pi) [1 - (- 1)^n]

Melhorando isso,

f (x) = (1)/(2) + (1)/(pi) sum_(n = 1)^(oo) ([1 - (- 1)^n])/(n) sin (n x)

Resposta

Concluimos então que a série de Fourier para a função dada, será da seguinte forma:

f (x) = (1)/(2) + (1)/(pi) sum_(n = 1)^(oo) ([1 - (- 1)^n])/(n) sin (n x)

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