Determine a série de Fourier da função dada:
(a)
Passo 1
Bom, primeiro devemos saber que uma série de Fourier é uma forma de expressarmos uma função qualquer em termos de séries infinitas de senos e cossenos.
È interessante que você tente esboçar o gráfico da função para ver como ela se comporta, perceba então que temos uma função periódica com período .
Podemos introduzir então a fórmula geral de uma série de Fourier:
Onde são os coeficientes da série e , portanto .
Agora vamos encontrar todos os coeficientes sabendo que eles possuem fórmulas específicas.
Passo 2
- Cálculo de
- Cálculo de
- Cálculo de
Sabendo que , é só substituir e integrar:
Observe que .
Facilmente, encontramos:
Podemos novamente separar os limites, assim fica mais fácil observar o que acontece:
Mais uma vez note os valores que assume em cada intervalo, então obtemos:
Resolvendo a integral,
Obs: repare que é zero quando
Passo 3
Quase acabando...
Mesma idéia, substituindo e resolvendo a integral:
Portanto,
Note que de acordo com o círculo trigonométrico, se ímpar, cosseno será e caso cosseno será
Tendo isso em mente podemos denotar da seguinte forma:
Ou,
Pronto, todos os coeficientes devidamente calculados, é só substituir na fórmula geral de uma série de Fourier:
Melhorando isso,
Resposta
Concluimos então que a série de Fourier para a função dada, será da seguinte forma: