Suponha |x| < 1 . Calcule o valor da soma:

(b) sum_(n = 0)^(+ oo) n^2 x^n

Passo 1

Primeiro, vamos relembrar de uma relação em séries de potência, que vai facilitar bastante:

Seja uma série de potencia do tipo:

sum_(n = 0)^(oo) x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n

Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

f (x) = S = (a_1)/(1 - r)

Onde

a_1 é o primeiro termo da série

E

r é a razão (uma forma bem simples é ver que r = (a_n + 1)/(a_n) )

Portanto a série,

sum_(n = 0)^(oo) x^n = underset(a_1)(ubrace 1) + x + x^2 + x^3 + ... + x^n = (1)/(1 - x) = f ( x )

Passo 2

Top então, sabendo disso podemos tentar reescrever a série dada pelo enunciado de forma que tenhamos alguma coisa bem próxima do exemplo citado acima ( x e l e v a d o a l g u m a c o i s a ) .

Logo, precisamos encontrar outra forma de reescrever n^2 x^n :

Para isso o exercício da uma sugestão bem interessante, ele diz o seguinte:

(sum_(n = 0)^(+ oo) x^(n + 2))^(' ') = sum_(n = 0)^(+ oo) (n + 2) (n + 1) x^n

Então, vamos tentar fazer isso aparecer:

n^2 x^n = x^n [(n + 2) (n + 1)]

n^2 x^n = x^n [ n^2 + 3 n + 2 ]

A igualdade ainda não é verdadeira, preciamos acrescentar alguns termos para torna-la:

n^2 x^n = x^n [(n + 2) (n + 1) - 3 (n + 1)]

n^2 x^n = x^n [n^2 + 3 n + 2 - 3 n - 3]

Ainda não é verdade:

n^2 x^n = x^n [(n + 2) (n + 1) - 3 (n + 1) + 1]

n^2 x^n = x^n [n^2 + 3 n + 2 - 3 n - 3 + 1]

Passo 3

Agora sim a igualdade é verdade, portanto vamos ter o seguinte:

sum_(n = 0)^(+ oo) n^2 x^n = sum_(n = 0)^(oo) (n + 2) (n + 1) x^n - 3 sum_(n = 0)^(oo) (n + 1) x^n + sum_(n = 0)^(oo) x^n

Agora repare o seguinte, da sugestão do livro:

(sum_(n = 0)^(+ oo) x^(n + 2))^(' ') = sum_(n = 0)^(+ oo) (n + 2) (n + 1) x^n

E podemos perceber que:

(sum_(n = 0)^(oo) x^(n + 1))^' = sum_(n = 0)^(oo) (n + 1) x^n

Ou seja, vamos ter o seguinte:

sum_(n = 0)^(+ oo) n^2 x^n = (sum_(n = 0)^(+ oo) x^(n + 2))^(' ') - 3 (sum_(n = 0)^(oo) x^(n + 1))^' + sum_(n = 0)^(oo) x^n

Dessa forma, utilizando aquela relação citada anteriormente, vamos ter o seguinte:

sum_(n = 0)^(+ oo) x^(n + 2) = x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + ... + x^n = (a_1)/(1 - r) = (x^2)/(1 - x)

E

sum_(n = 0)^(oo) x^(n + 1) = x + x^2 + x^3 + ... + x^n = (a_1)/(1 - x) = (x)/(1 - x)

E trivialmente:

sum_(n = 0)^(oo) x^n = (1)/(1 - x)

Portanto:

sum_(n = 0)^(+ oo) n^2 x^n = ((x^2)/(1 - x))^(' ') - 3 ((x)/(1 - x))^' + (1)/(1 - x)

Derivando:

((x^2)/(1 - x))^(' ') = (2)/((1 - x)^3)

((x)/(1 - x))^' = (1)/((1 - x)^2)

Concluindo esse rolo todo:

sum_(n = 0)^(+ oo) n^2 x^n = (2)/((1 - x)^3) - 3 (1)/((1 - x)^2) + (1)/(1 - x)

Então:

sum_(n = 0)^(+ oo) n^2 x^n = ((x (x - 1))/((1 - x)^3))

Resposta

Portanto, concluímos que o valor da soma da série dada, é:

sum_(n = 0)^(+ oo) n^2 x^n = ((x (x - 1))/((1 - x)^3))

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