Suponha . Calcule o valor da soma:
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos relembrar de uma relação em séries de potência, que vai facilitar bastante:
Seja uma série de potencia do tipo:
Podemos reescrevê-la da seguinte forma:
Onde
é o primeiro termo da série
E
é a razão (uma forma bem simples é ver que )
Portanto a série,
Passo 2
Top então, sabendo disso podemos tentar reescrever a série dada pelo enunciado de forma que tenhamos alguma coisa bem próxima do exemplo citado acima.
Logo, precisamos encontrar outra forma de reescrever
Para isso o exercício da uma sugestão bem interessante, ele diz o seguinte:
Então, vamos tentar fazer isso aparecer:
A igualdade ainda não é verdadeira, preciamos acrescentar alguns termos para torna-la:
Ainda não é verdade:
Passo 3
Agora sim a igualdade é verdade, portanto vamos ter o seguinte:
Agora repare o seguinte, da sugestão do livro:
E podemos perceber que:
Ou seja, vamos ter o seguinte:
Dessa forma, utilizando aquela relação citada anteriormente, vamos ter o seguinte:
E
E trivialmente:
Portanto:
Derivando:
Concluindo esse rolo todo:
Então:
Resposta
Portanto, concluímos que o valor da soma da série dada, é: