Determine a série de Fourier da função dada:
(b)
Passo 1
Bom, primeiro devemos saber que uma série de Fourier é uma forma de expressarmos uma função qualquer em termos de séries infinitas de senos e cossenos.
Dito isso, è muito interessante que você tente esboçar o comportamento dessa função, pois dessa forma você irá visualizar melhor que temos uma função par, pois ela é simétrica em relação ao eixo .
Além disso perceba que .
Podemos introduzir então a fórmula geral de uma série de Fourier:
Onde são os coeficientes da série e .
Agora vamos encontrar todos os coeficientes sabendo que eles possuem fórmulas específicas
Passo 2
- Cálculo de
- Cálculo de
- Cálculo de :
Obs: sabemos que é uma função par, uma das propriedades de uma função desse tipo é que:
Essa é uma propriedade muito importante das funções pares, tente sempre se lembrar dela.
Continuando...
Resolvendo a integral,
Então:
Próximo coeficiente:
Novamente, perceba que são funções pares, então já sabe:
Agora é só resolver a integral, resolvendo por partes:
Portanto,
Como então para qualquer valor de (lembre-se do círculo trigonométrico)
Perceba também que de acordo com o círculo trigonométrico, se ímpar, cosseno será e caso cosseno será
Então vamos dar uma arrumada nesse trem,
Resumo da ópera:
Passo 3
Pra terminar,
Olhe bem para a fórmula, perceba que nesse caso o nosso e seno é uma função ímpar.
Tá, mas e daí??
E daí que existe uma propriedade, que fala sobre o produto de duas funções desse tipo; ela nos diz que o resultado da multiplicação entre uma função par e uma ímpar, será outra função ímpar.
Isso significa então que é uma função ímpar.
Legal! E agora?
Agora, uma das propriedades das funções ímpares, é que:
Isso ocorre sempre, então é muito importante que vc se lembre disso.
Resumindo...
Simples assim.
Pronto, tendo calculado todos os coeficientes, é só jogar tudo na fórmula geral para uma série de Fourier:
Resposta
Concluímos então que a série de Fourier para a função dada, assume a seguinte forma: